Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6641 / 11789
↖ ↑ ↗
← S 61.741930°
W 34.079590°		 ← 1 156.72 m → S 61.741930°
W 34.057617°		 →
↑
1 156.53 m
↓
↑
1 156.53 m
↓
S 61.752331°
W 34.079590°		 ← 1 156.33 m →
1 337 558 m²		 S 61.752331°
W 34.057617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405364990234375 y=0.719573974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405364990234375 × 214)
    floor (0.405364990234375 × 16384)
    floor (6641.5)     		tx = 6641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719573974609375 × 214)
    floor (0.719573974609375 × 16384)
    floor (11789.5)     		ty = 11789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6641 / 11789 ti = "14/6641/11789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6641/11789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6641 ÷ 214
    6641 ÷ 16384     		x = 0.40533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11789 ÷ 214
    11789 ÷ 16384     		y = 0.71954345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40533447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1893310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59480105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71954345703125 × 2 - 1) × π
    -0.4390869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37943222346674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59480105} λ = -0.59480105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37943222346674))-π/2
    2×atan(0.251721434016845)-π/2
    2×0.246598178928687-π/2
    0.493196357857374-1.57079632675     		φ = -1.07759997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59480105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.079590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07759997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.741930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6641 KachelY 11789 -0.59480105 -1.07759997 -34.079590 -61.741930
    Oben rechts KachelX + 1 6642 KachelY 11789 -0.59441756 -1.07759997 -34.057617 -61.741930
    Unten links KachelX 6641 KachelY + 1 11790 -0.59480105 -1.07778150 -34.079590 -61.752331
    Unten rechts KachelX + 1 6642 KachelY + 1 11790 -0.59441756 -1.07778150 -34.057617 -61.752331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07759997--1.07778150) × R
    0.000181529999999874 × 6371000     		dl = 1156.5276299992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07759997--1.07778150) × R
    0.000181529999999874 × 6371000     		dr = 1156.5276299992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59480105--0.59441756) × cos(-1.07759997) × R
    0.000383490000000042 × 0.473443729877919 × 6371000     		do = 1156.72472307062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59480105--0.59441756) × cos(-1.07778150) × R
    0.000383490000000042 × 0.473283826085429 × 6371000     		du = 1156.33404375983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07759997)-sin(-1.07778150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.473443729877919-0.473283826085429)×R²
    abs(-0.59441756--0.59480105)×0.000159903792489258×R²
    0.000383490000000042×0.000159903792489258×6371000²
    0.000383490000000042×0.000159903792489258×40589641000000     		ar = 1337558.19049912m²