Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 664 / 982
N 67.941650°
W121.640625°
← 3 670.25 m → N 67.941650°
W121.552734°

3 672.82 m

3 672.82 m
N 67.908619°
W121.640625°
← 3 675.47 m →
13 489 753 m²
N 67.908619°
W121.552734°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1622314453125 y=0.2398681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1622314453125 × 212)
    floor (0.1622314453125 × 4096)
    floor (664.5)
    tx = 664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2398681640625 × 212)
    floor (0.2398681640625 × 4096)
    floor (982.5)
    ty = 982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 664 / 982 ti = "12/664/982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/664/982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 664 ÷ 212
    664 ÷ 4096
    x = 0.162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 982 ÷ 212
    982 ÷ 4096
    y = 0.23974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.162109375 × 2 - 1) × π
    -0.67578125 × 3.1415926535
    Λ = -2.12302941
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.23974609375 × 2 - 1) × π
    0.5205078125 × 3.1415926535
    Φ = 1.63522351983936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12302941} λ = -2.12302941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63522351983936))-π/2
    2×atan(5.13060466080091)-π/2
    2×1.37830090956584-π/2
    2.75660181913168-1.57079632675
    φ = 1.18580549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12302941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18580549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.941650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 664 KachelY 982 -2.12302941 1.18580549 -121.640625 67.941650
    Oben rechts KachelX + 1 665 KachelY 982 -2.12149543 1.18580549 -121.552734 67.941650
    Unten links KachelX 664 KachelY + 1 983 -2.12302941 1.18522900 -121.640625 67.908619
    Unten rechts KachelX + 1 665 KachelY + 1 983 -2.12149543 1.18522900 -121.552734 67.908619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.18580549-1.18522900) × R
    0.000576489999999819 × 6371000
    dl = 3672.81778999884m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.18580549-1.18522900) × R
    0.000576489999999819 × 6371000
    dr = 3672.81778999884m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12302941--2.12149543) × cos(1.18580549) × R
    0.00153398000000005 × 0.375550644287607 × 6371000
    do = 3670.25140673324m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12302941--2.12149543) × cos(1.18522900) × R
    0.00153398000000005 × 0.376084873864947 × 6371000
    du = 3675.47242522323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.18580549)-sin(1.18522900))×
    abs(λ12)×abs(0.375550644287607-0.376084873864947)×
    abs(-2.12149543--2.12302941)×0.000534229577340339×
    0.00153398000000005×0.000534229577340339×6371000²
    0.00153398000000005×0.000534229577340339×40589641000000
    ar = 13489752.9588115m²