Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 664 / 1431
↖ ↑ ↗
← S 57.984808°
W 63.281250°		 ← 10.362 km → S 57.984808°
W 63.105469°		 →
↑
10.349 km
↓
↑
10.349 km
↓
S 58.077876°
W 63.281250°		 ← 10.335 km →
107.095 km²		 S 58.077876°
W 63.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.324462890625 y=0.698974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.324462890625 × 211)
    floor (0.324462890625 × 2048)
    floor (664.5)     		tx = 664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.698974609375 × 211)
    floor (0.698974609375 × 2048)
    floor (1431.5)     		ty = 1431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 664 / 1431 ti = "11/664/1431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/664/1431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 664 ÷ 211
    664 ÷ 2048     		x = 0.32421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1431 ÷ 211
    1431 ÷ 2048     		y = 0.69873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.32421875 × 2 - 1) × π
    -0.3515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.10446617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69873046875 × 2 - 1) × π
    -0.3974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.24866036130322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10446617} λ = -1.10446617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.24866036130322))-π/2
    2×atan(0.28688886697303)-π/2
    2×0.279385255370635-π/2
    0.55877051074127-1.57079632675     		φ = -1.01202582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10446617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01202582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.984808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 664 KachelY 1431 -1.10446617 -1.01202582 -63.281250 -57.984808
    Oben rechts KachelX + 1 665 KachelY 1431 -1.10139821 -1.01202582 -63.105469 -57.984808
    Unten links KachelX 664 KachelY + 1 1432 -1.10446617 -1.01365016 -63.281250 -58.077876
    Unten rechts KachelX + 1 665 KachelY + 1 1432 -1.10139821 -1.01365016 -63.105469 -58.077876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01202582--1.01365016) × R
    0.00162434 × 6371000     		dl = 10348.67014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01202582--1.01365016) × R
    0.00162434 × 6371000     		dr = 10348.67014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10446617--1.10139821) × cos(-1.01202582) × R
    0.00306796000000009 × 0.530144102296652 × 6371000     		do = 10362.182394423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10446617--1.10139821) × cos(-1.01365016) × R
    0.00306796000000009 × 0.528766113348559 × 6371000     		du = 10335.2482594288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01202582)-sin(-1.01365016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530144102296652-0.528766113348559)×R²
    abs(-1.10139821--1.10446617)×0.00137798894809282×R²
    0.00306796000000009×0.00137798894809282×6371000²
    0.00306796000000009×0.00137798894809282×40589641000000     		ar = 107095464.838552m²