Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6638 / 2820
↖ ↑ ↗
← N 48.806863°
E111.708984°		 ← 3 218.24 m → N 48.806863°
E111.752930°		 →
↑
3 219.14 m
↓
↑
3 219.14 m
↓
N 48.777913°
E111.708984°		 ← 3 220.10 m →
10 362 955 m²		 N 48.777913°
E111.752930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81036376953125 y=0.34429931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81036376953125 × 213)
    floor (0.81036376953125 × 8192)
    floor (6638.5)     		tx = 6638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34429931640625 × 213)
    floor (0.34429931640625 × 8192)
    floor (2820.5)     		ty = 2820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6638 / 2820 ti = "13/6638/2820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6638/2820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6638 ÷ 213
    6638 ÷ 8192     		x = 0.810302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2820 ÷ 213
    2820 ÷ 8192     		y = 0.34423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810302734375 × 2 - 1) × π
    0.62060546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94968958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34423828125 × 2 - 1) × π
    0.3115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.978679742643066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94968958} λ = 1.94968958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978679742643066))-π/2
    2×atan(2.66094079513167)-π/2
    2×1.21131839587186-π/2
    2.42263679174373-1.57079632675     		φ = 0.85184046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94968958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.708984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85184046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.806863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6638 KachelY 2820 1.94968958 0.85184046 111.708984 48.806863
    Oben rechts KachelX + 1 6639 KachelY 2820 1.95045657 0.85184046 111.752930 48.806863
    Unten links KachelX 6638 KachelY + 1 2821 1.94968958 0.85133518 111.708984 48.777913
    Unten rechts KachelX + 1 6639 KachelY + 1 2821 1.95045657 0.85133518 111.752930 48.777913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85184046-0.85133518) × R
    0.000505280000000052 × 6371000     		dl = 3219.13888000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85184046-0.85133518) × R
    0.000505280000000052 × 6371000     		dr = 3219.13888000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94968958-1.95045657) × cos(0.85184046) × R
    0.000766990000000023 × 0.658599327353307 × 6371000     		do = 3218.24119391054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94968958-1.95045657) × cos(0.85133518) × R
    0.000766990000000023 × 0.658979463333936 × 6371000     		du = 3220.09872582917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85184046)-sin(0.85133518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658599327353307-0.658979463333936)×R²
    abs(1.95045657-1.94968958)×0.000380135980629026×R²
    0.000766990000000023×0.000380135980629026×6371000²
    0.000766990000000023×0.000380135980629026×40589641000000     		ar = 10362955.3996236m²