Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6638 / 11758
↖ ↑ ↗
← S 61.417750°
W 34.145508°		 ← 1 168.91 m → S 61.417750°
W 34.123535°		 →
↑
1 168.70 m
↓
↑
1 168.70 m
↓
S 61.428261°
W 34.145508°		 ← 1 168.52 m →
1 365 874 m²		 S 61.428261°
W 34.123535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405181884765625 y=0.717681884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405181884765625 × 214)
    floor (0.405181884765625 × 16384)
    floor (6638.5)     		tx = 6638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717681884765625 × 214)
    floor (0.717681884765625 × 16384)
    floor (11758.5)     		ty = 11758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6638 / 11758 ti = "14/6638/11758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6638/11758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6638 ÷ 214
    6638 ÷ 16384     		x = 0.4051513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11758 ÷ 214
    11758 ÷ 16384     		y = 0.7176513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4051513671875 × 2 - 1) × π
    -0.189697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59595154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7176513671875 × 2 - 1) × π
    -0.435302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36754387236096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59595154} λ = -0.59595154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36754387236096))-π/2
    2×atan(0.25473184576544)-π/2
    2×0.24942718277377-π/2
    0.498854365547541-1.57079632675     		φ = -1.07194196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59595154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.145508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07194196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.417750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6638 KachelY 11758 -0.59595154 -1.07194196 -34.145508 -61.417750
    Oben rechts KachelX + 1 6639 KachelY 11758 -0.59556804 -1.07194196 -34.123535 -61.417750
    Unten links KachelX 6638 KachelY + 1 11759 -0.59595154 -1.07212540 -34.145508 -61.428261
    Unten rechts KachelX + 1 6639 KachelY + 1 11759 -0.59556804 -1.07212540 -34.123535 -61.428261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07194196--1.07212540) × R
    0.000183440000000035 × 6371000     		dl = 1168.69624000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07194196--1.07212540) × R
    0.000183440000000035 × 6371000     		dr = 1168.69624000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59595154--0.59556804) × cos(-1.07194196) × R
    0.000383499999999981 × 0.478419836483918 × 6371000     		do = 1168.91290045461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59595154--0.59556804) × cos(-1.07212540) × R
    0.000383499999999981 × 0.478258744042212 × 6371000     		du = 1168.51930675528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07194196)-sin(-1.07212540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478419836483918-0.478258744042212)×R²
    abs(-0.59556804--0.59595154)×0.000161092441706312×R²
    0.000383499999999981×0.000161092441706312×6371000²
    0.000383499999999981×0.000161092441706312×40589641000000     		ar = 1365874.11974105m²