Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6637 / 2667
↖ ↑ ↗
← N 53.041213°
E111.665039°		 ← 2 937.96 m → N 53.041213°
E111.708984°		 →
↑
2 938.88 m
↓
↑
2 938.88 m
↓
N 53.014783°
E111.665039°		 ← 2 939.76 m →
8 636 946 m²		 N 53.014783°
E111.708984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81024169921875 y=0.32562255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81024169921875 × 213)
    floor (0.81024169921875 × 8192)
    floor (6637.5)     		tx = 6637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32562255859375 × 213)
    floor (0.32562255859375 × 8192)
    floor (2667.5)     		ty = 2667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6637 / 2667 ti = "13/6637/2667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6637/2667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6637 ÷ 213
    6637 ÷ 8192     		x = 0.8101806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2667 ÷ 213
    2667 ÷ 8192     		y = 0.3255615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8101806640625 × 2 - 1) × π
    0.620361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94892259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3255615234375 × 2 - 1) × π
    0.348876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09602927291296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94892259} λ = 1.94892259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09602927291296))-π/2
    2×atan(2.99226095207881)-π/2
    2×1.24827006679451-π/2
    2.49654013358902-1.57079632675     		φ = 0.92574381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94892259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.665039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92574381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.041213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6637 KachelY 2667 1.94892259 0.92574381 111.665039 53.041213
    Oben rechts KachelX + 1 6638 KachelY 2667 1.94968958 0.92574381 111.708984 53.041213
    Unten links KachelX 6637 KachelY + 1 2668 1.94892259 0.92528252 111.665039 53.014783
    Unten rechts KachelX + 1 6638 KachelY + 1 2668 1.94968958 0.92528252 111.708984 53.014783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92574381-0.92528252) × R
    0.000461289999999948 × 6371000     		dl = 2938.87858999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92574381-0.92528252) × R
    0.000461289999999948 × 6371000     		dr = 2938.87858999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94892259-1.94968958) × cos(0.92574381) × R
    0.000766990000000023 × 0.601240403843528 × 6371000     		do = 2937.95719905838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94892259-1.94968958) × cos(0.92528252) × R
    0.000766990000000023 × 0.601608942028614 × 6371000     		du = 2939.75805842691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92574381)-sin(0.92528252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601240403843528-0.601608942028614)×R²
    abs(1.94968958-1.94892259)×0.000368538185086309×R²
    0.000766990000000023×0.000368538185086309×6371000²
    0.000766990000000023×0.000368538185086309×40589641000000     		ar = 8636945.9173228m²