Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6636 / 6250
↖ ↑ ↗
← S 68.301905°
E111.621094°		 ← 1 806.61 m → S 68.301905°
E111.665039°		 →
↑
1 805.99 m
↓
↑
1 805.99 m
↓
S 68.318146°
E111.621094°		 ← 1 805.33 m →
3 261 560 m²		 S 68.318146°
E111.665039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81011962890625 y=0.76300048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81011962890625 × 213)
    floor (0.81011962890625 × 8192)
    floor (6636.5)     		tx = 6636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76300048828125 × 213)
    floor (0.76300048828125 × 8192)
    floor (6250.5)     		ty = 6250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6636 / 6250 ti = "13/6636/6250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6636/6250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6636 ÷ 213
    6636 ÷ 8192     		x = 0.81005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6250 ÷ 213
    6250 ÷ 8192     		y = 0.762939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81005859375 × 2 - 1) × π
    0.6201171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94815560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762939453125 × 2 - 1) × π
    -0.52587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65209730850562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94815560} λ = 1.94815560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65209730850562))-π/2
    2×atan(0.191647542804017)-π/2
    2×0.189351603690376-π/2
    0.378703207380753-1.57079632675     		φ = -1.19209312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94815560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.621094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19209312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.301905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6636 KachelY 6250 1.94815560 -1.19209312 111.621094 -68.301905
    Oben rechts KachelX + 1 6637 KachelY 6250 1.94892259 -1.19209312 111.665039 -68.301905
    Unten links KachelX 6636 KachelY + 1 6251 1.94815560 -1.19237659 111.621094 -68.318146
    Unten rechts KachelX + 1 6637 KachelY + 1 6251 1.94892259 -1.19237659 111.665039 -68.318146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19209312--1.19237659) × R
    0.000283470000000063 × 6371000     		dl = 1805.9873700004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19209312--1.19237659) × R
    0.000283470000000063 × 6371000     		dr = 1805.9873700004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94815560-1.94892259) × cos(-1.19209312) × R
    0.000766990000000023 × 0.369715871877928 × 6371000     		do = 1806.61412713805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94815560-1.94892259) × cos(-1.19237659) × R
    0.000766990000000023 × 0.369452472333197 × 6371000     		du = 1805.32702703013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19209312)-sin(-1.19237659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369715871877928-0.369452472333197)×R²
    abs(1.94892259-1.94815560)×0.00026339954473148×R²
    0.000766990000000023×0.00026339954473148×6371000²
    0.000766990000000023×0.00026339954473148×40589641000000     		ar = 3261560.07464613m²