Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6633 / 12764
↖ ↑ ↗
← S 70.348317°
W 34.255371°		 ← 821.66 m → S 70.348317°
W 34.233399°		 →
↑
821.54 m
↓
↑
821.54 m
↓
S 70.355706°
W 34.255371°		 ← 821.36 m →
674 902 m²		 S 70.355706°
W 34.233399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404876708984375 y=0.779083251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404876708984375 × 214)
    floor (0.404876708984375 × 16384)
    floor (6633.5)     		tx = 6633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779083251953125 × 214)
    floor (0.779083251953125 × 16384)
    floor (12764.5)     		ty = 12764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6633 / 12764 ti = "14/6633/12764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6633/12764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6633 ÷ 214
    6633 ÷ 16384     		x = 0.40484619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12764 ÷ 214
    12764 ÷ 16384     		y = 0.779052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40484619140625 × 2 - 1) × π
    -0.1903076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59786901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779052734375 × 2 - 1) × π
    -0.55810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75334004050317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59786901} λ = -0.59786901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75334004050317))-π/2
    2×atan(0.173194499662468)-π/2
    2×0.171493281076931-π/2
    0.342986562153863-1.57079632675     		φ = -1.22780976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59786901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.255371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22780976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.348317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6633 KachelY 12764 -0.59786901 -1.22780976 -34.255371 -70.348317
    Oben rechts KachelX + 1 6634 KachelY 12764 -0.59748552 -1.22780976 -34.233399 -70.348317
    Unten links KachelX 6633 KachelY + 1 12765 -0.59786901 -1.22793871 -34.255371 -70.355706
    Unten rechts KachelX + 1 6634 KachelY + 1 12765 -0.59748552 -1.22793871 -34.233399 -70.355706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22780976--1.22793871) × R
    0.000128950000000128 × 6371000     		dl = 821.540450000813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22780976--1.22793871) × R
    0.000128950000000128 × 6371000     		dr = 821.540450000813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59786901--0.59748552) × cos(-1.22780976) × R
    0.000383490000000042 × 0.336301200453459 × 6371000     		do = 821.656066842735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59786901--0.59748552) × cos(-1.22793871) × R
    0.000383490000000042 × 0.336179758417439 × 6371000     		du = 821.359357864202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22780976)-sin(-1.22793871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336301200453459-0.336179758417439)×R²
    abs(-0.59748552--0.59786901)×0.000121442036020103×R²
    0.000383490000000042×0.000121442036020103×6371000²
    0.000383490000000042×0.000121442036020103×40589641000000     		ar = 674901.816621231m²