Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6632 / 1482
↖ ↑ ↗
← N 81.275053°
W 34.277344°		 ← 370.62 m → N 81.275053°
W 34.255371°		 →
↑
370.66 m
↓
↑
370.66 m
↓
N 81.271720°
W 34.277344°		 ← 370.76 m →
137 403 m²		 N 81.271720°
W 34.255371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404815673828125 y=0.090484619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404815673828125 × 214)
    floor (0.404815673828125 × 16384)
    floor (6632.5)     		tx = 6632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.090484619140625 × 214)
    floor (0.090484619140625 × 16384)
    floor (1482.5)     		ty = 1482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6632 / 1482 ti = "14/6632/1482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6632/1482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6632 ÷ 214
    6632 ÷ 16384     		x = 0.40478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1482 ÷ 214
    1482 ÷ 16384     		y = 0.0904541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59825251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0904541015625 × 2 - 1) × π
    0.819091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.57325277160461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59825251} λ = -0.59825251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57325277160461))-π/2
    2×atan(13.1083937803023)-π/2
    2×1.49465680424853-π/2
    2.98931360849706-1.57079632675     		φ = 1.41851728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59825251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.277344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41851728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.275053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6632 KachelY 1482 -0.59825251 1.41851728 -34.277344 81.275053
    Oben rechts KachelX + 1 6633 KachelY 1482 -0.59786901 1.41851728 -34.255371 81.275053
    Unten links KachelX 6632 KachelY + 1 1483 -0.59825251 1.41845910 -34.277344 81.271720
    Unten rechts KachelX + 1 6633 KachelY + 1 1483 -0.59786901 1.41845910 -34.255371 81.271720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41851728-1.41845910) × R
    5.81800000001298e-05 × 6371000     		dl = 370.664780000827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41851728-1.41845910) × R
    5.81800000001298e-05 × 6371000     		dr = 370.664780000827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59825251--0.59786901) × cos(1.41851728) × R
    0.000383499999999981 × 0.151691197984176 × 6371000     		do = 370.623842673961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59825251--0.59786901) × cos(1.41845910) × R
    0.000383499999999981 × 0.151748704464605 × 6371000     		du = 370.764347021206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41851728)-sin(1.41845910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151691197984176-0.151748704464605)×R²
    abs(-0.59786901--0.59825251)×5.75064804295145e-05×R²
    0.000383499999999981×5.75064804295145e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.75064804295145e-05×40589641000000     		ar = 137403.245153118m²