Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6632 / 11830
↖ ↑ ↗
← S 62.165502°
W 34.277344°		 ← 1 140.81 m → S 62.165502°
W 34.255371°		 →
↑
1 140.60 m
↓
↑
1 140.60 m
↓
S 62.175760°
W 34.277344°		 ← 1 140.43 m →
1 300 991 m²		 S 62.175760°
W 34.255371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404815673828125 y=0.722076416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404815673828125 × 214)
    floor (0.404815673828125 × 16384)
    floor (6632.5)     		tx = 6632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722076416015625 × 214)
    floor (0.722076416015625 × 16384)
    floor (11830.5)     		ty = 11830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6632 / 11830 ti = "14/6632/11830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6632/11830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6632 ÷ 214
    6632 ÷ 16384     		x = 0.40478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11830 ÷ 214
    11830 ÷ 16384     		y = 0.7220458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59825251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7220458984375 × 2 - 1) × π
    -0.444091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39515552654211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59825251} λ = -0.59825251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39515552654211))-π/2
    2×atan(0.247794494749261)-π/2
    2×0.242901818700915-π/2
    0.485803637401831-1.57079632675     		φ = -1.08499269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59825251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.277344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08499269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.165502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6632 KachelY 11830 -0.59825251 -1.08499269 -34.277344 -62.165502
    Oben rechts KachelX + 1 6633 KachelY 11830 -0.59786901 -1.08499269 -34.255371 -62.165502
    Unten links KachelX 6632 KachelY + 1 11831 -0.59825251 -1.08517172 -34.277344 -62.175760
    Unten rechts KachelX + 1 6633 KachelY + 1 11831 -0.59786901 -1.08517172 -34.255371 -62.175760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08499269--1.08517172) × R
    0.000179029999999969 × 6371000     		dl = 1140.6001299998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08499269--1.08517172) × R
    0.000179029999999969 × 6371000     		dr = 1140.6001299998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59825251--0.59786901) × cos(-1.08499269) × R
    0.000383499999999981 × 0.46691916616662 × 6371000     		do = 1140.81355993277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59825251--0.59786901) × cos(-1.08517172) × R
    0.000383499999999981 × 0.46676084245545 × 6371000     		du = 1140.42673101323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08499269)-sin(-1.08517172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46691916616662-0.46676084245545)×R²
    abs(-0.59786901--0.59825251)×0.000158323711169694×R²
    0.000383499999999981×0.000158323711169694×6371000²
    0.000383499999999981×0.000158323711169694×40589641000000     		ar = 1300991.48968301m²