Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6630 / 11826
↖ ↑ ↗
← S 62.124436°
W 34.321289°		 ← 1 142.36 m → S 62.124436°
W 34.299316°		 →
↑
1 142.13 m
↓
↑
1 142.13 m
↓
S 62.134708°
W 34.321289°		 ← 1 141.97 m →
1 304 504 m²		 S 62.134708°
W 34.299316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404693603515625 y=0.721832275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404693603515625 × 214)
    floor (0.404693603515625 × 16384)
    floor (6630.5)     		tx = 6630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721832275390625 × 214)
    floor (0.721832275390625 × 16384)
    floor (11826.5)     		ty = 11826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6630 / 11826 ti = "14/6630/11826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6630/11826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6630 ÷ 214
    6630 ÷ 16384     		x = 0.4046630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11826 ÷ 214
    11826 ÷ 16384     		y = 0.7218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4046630859375 × 2 - 1) × π
    -0.190673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59901950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7218017578125 × 2 - 1) × π
    -0.443603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39362154575427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59901950} λ = -0.59901950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39362154575427))-π/2
    2×atan(0.248174898434918)-π/2
    2×0.243260184192165-π/2
    0.486520368384329-1.57079632675     		φ = -1.08427596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59901950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.321289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08427596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.124436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6630 KachelY 11826 -0.59901950 -1.08427596 -34.321289 -62.124436
    Oben rechts KachelX + 1 6631 KachelY 11826 -0.59863600 -1.08427596 -34.299316 -62.124436
    Unten links KachelX 6630 KachelY + 1 11827 -0.59901950 -1.08445523 -34.321289 -62.134708
    Unten rechts KachelX + 1 6631 KachelY + 1 11827 -0.59863600 -1.08445523 -34.299316 -62.134708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08427596--1.08445523) × R
    0.000179270000000065 × 6371000     		dl = 1142.12917000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08427596--1.08445523) × R
    0.000179270000000065 × 6371000     		dr = 1142.12917000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59901950--0.59863600) × cos(-1.08427596) × R
    0.000383500000000092 × 0.467552850523649 × 6371000     		do = 1142.36182729842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59901950--0.59863600) × cos(-1.08445523) × R
    0.000383500000000092 × 0.467394374584534 × 6371000     		du = 1141.97462644361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08427596)-sin(-1.08445523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467552850523649-0.467394374584534)×R²
    abs(-0.59863600--0.59901950)×0.000158475939115055×R²
    0.000383500000000092×0.000158475939115055×6371000²
    0.000383500000000092×0.000158475939115055×40589641000000     		ar = 1304503.65245091m²