Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6629 / 11794
↖ ↑ ↗
← S 61.793900°
W 34.343262°		 ← 1 154.77 m → S 61.793900°
W 34.321289°		 →
↑
1 154.62 m
↓
↑
1 154.62 m
↓
S 61.804284°
W 34.343262°		 ← 1 154.38 m →
1 333 094 m²		 S 61.804284°
W 34.321289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404632568359375 y=0.719879150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404632568359375 × 214)
    floor (0.404632568359375 × 16384)
    floor (6629.5)     		tx = 6629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719879150390625 × 214)
    floor (0.719879150390625 × 16384)
    floor (11794.5)     		ty = 11794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6629 / 11794 ti = "14/6629/11794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6629/11794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6629 ÷ 214
    6629 ÷ 16384     		x = 0.40460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11794 ÷ 214
    11794 ÷ 16384     		y = 0.7198486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.1907958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59940299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7198486328125 × 2 - 1) × π
    -0.439697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.38134969945154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59940299} λ = -0.59940299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38134969945154))-π/2
    2×atan(0.251239226670506)-π/2
    2×0.24614465359961-π/2
    0.492289307199221-1.57079632675     		φ = -1.07850702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59940299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.343262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07850702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.793900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6629 KachelY 11794 -0.59940299 -1.07850702 -34.343262 -61.793900
    Oben rechts KachelX + 1 6630 KachelY 11794 -0.59901950 -1.07850702 -34.321289 -61.793900
    Unten links KachelX 6629 KachelY + 1 11795 -0.59940299 -1.07868825 -34.343262 -61.804284
    Unten rechts KachelX + 1 6630 KachelY + 1 11795 -0.59901950 -1.07868825 -34.321289 -61.804284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07850702--1.07868825) × R
    0.000181229999999921 × 6371000     		dl = 1154.6163299995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07850702--1.07868825) × R
    0.000181229999999921 × 6371000     		dr = 1154.6163299995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59940299--0.59901950) × cos(-1.07850702) × R
    0.000383489999999931 × 0.472644583758257 × 6371000     		do = 1154.77223745136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59940299--0.59901950) × cos(-1.07868825) × R
    0.000383489999999931 × 0.472484866490655 × 6371000     		du = 1154.38201386094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07850702)-sin(-1.07868825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472644583758257-0.472484866490655)×R²
    abs(-0.59901950--0.59940299)×0.0001597172676015×R²
    0.000383489999999931×0.0001597172676015×6371000²
    0.000383489999999931×0.0001597172676015×40589641000000     		ar = 1333093.60717591m²