Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6628 / 11740
↖ ↑ ↗
← S 61.227957°
W 34.365234°		 ← 1 176.01 m → S 61.227957°
W 34.343262°		 →
↑
1 175.77 m
↓
↑
1 175.77 m
↓
S 61.238531°
W 34.365234°		 ← 1 175.62 m →
1 382 487 m²		 S 61.238531°
W 34.343262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404571533203125 y=0.716583251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404571533203125 × 214)
    floor (0.404571533203125 × 16384)
    floor (6628.5)     		tx = 6628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716583251953125 × 214)
    floor (0.716583251953125 × 16384)
    floor (11740.5)     		ty = 11740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6628 / 11740 ti = "14/6628/11740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6628/11740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6628 ÷ 214
    6628 ÷ 16384     		x = 0.404541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11740 ÷ 214
    11740 ÷ 16384     		y = 0.716552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404541015625 × 2 - 1) × π
    -0.19091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59978649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716552734375 × 2 - 1) × π
    -0.43310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36064095881567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59978649} λ = -0.59978649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36064095881567))-π/2
    2×atan(0.25649632067641)-π/2
    2×0.251083439905248-π/2
    0.502166879810495-1.57079632675     		φ = -1.06862945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59978649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.365234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06862945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.227957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6628 KachelY 11740 -0.59978649 -1.06862945 -34.365234 -61.227957
    Oben rechts KachelX + 1 6629 KachelY 11740 -0.59940299 -1.06862945 -34.343262 -61.227957
    Unten links KachelX 6628 KachelY + 1 11741 -0.59978649 -1.06881400 -34.365234 -61.238531
    Unten rechts KachelX + 1 6629 KachelY + 1 11741 -0.59940299 -1.06881400 -34.343262 -61.238531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06862945--1.06881400) × R
    0.00018454999999995 × 6371000     		dl = 1175.76804999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06862945--1.06881400) × R
    0.00018454999999995 × 6371000     		dr = 1175.76804999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59978649--0.59940299) × cos(-1.06862945) × R
    0.000383499999999981 × 0.481326024868925 × 6371000     		do = 1176.01352805265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59978649--0.59940299) × cos(-1.06881400) × R
    0.000383499999999981 × 0.481164250912339 × 6371000     		du = 1175.61826922267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06862945)-sin(-1.06881400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481326024868925-0.481164250912339)×R²
    abs(-0.59940299--0.59978649)×0.000161773956585287×R²
    0.000383499999999981×0.000161773956585287×6371000²
    0.000383499999999981×0.000161773956585287×40589641000000     		ar = 1382486.77022389m²