Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6627 / 3300
↖ ↑ ↗
← N 32.990235°
E111.225586°		 ← 4 098.61 m → N 32.990235°
E111.269531°		 →
↑
4 099.48 m
↓
↑
4 099.48 m
↓
N 32.953368°
E111.225586°		 ← 4 100.32 m →
16 805 699 m²		 N 32.953368°
E111.269531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80902099609375 y=0.40289306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80902099609375 × 213)
    floor (0.80902099609375 × 8192)
    floor (6627.5)     		tx = 6627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40289306640625 × 213)
    floor (0.40289306640625 × 8192)
    floor (3300.5)     		ty = 3300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6627 / 3300 ti = "13/6627/3300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6627/3300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6627 ÷ 213
    6627 ÷ 8192     		x = 0.8089599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3300 ÷ 213
    3300 ÷ 8192     		y = 0.40283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8089599609375 × 2 - 1) × π
    0.617919921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94125269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40283203125 × 2 - 1) × π
    0.1943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.610524353561035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94125269} λ = 1.94125269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.610524353561035))-π/2
    2×atan(1.84139668859389)-π/2
    2×1.07329227915234-π/2
    2.14658455830469-1.57079632675     		φ = 0.57578823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94125269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.225586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57578823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.990235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6627 KachelY 3300 1.94125269 0.57578823 111.225586 32.990235
    Oben rechts KachelX + 1 6628 KachelY 3300 1.94201968 0.57578823 111.269531 32.990235
    Unten links KachelX 6627 KachelY + 1 3301 1.94125269 0.57514477 111.225586 32.953368
    Unten rechts KachelX + 1 6628 KachelY + 1 3301 1.94201968 0.57514477 111.269531 32.953368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57578823-0.57514477) × R
    0.00064346000000004 × 6371000     		dl = 4099.48366000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57578823-0.57514477) × R
    0.00064346000000004 × 6371000     		dr = 4099.48366000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94125269-1.94201968) × cos(0.57578823) × R
    0.000766990000000023 × 0.838763374870166 × 6371000     		do = 4098.61160320094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94125269-1.94201968) × cos(0.57514477) × R
    0.000766990000000023 × 0.839113562664238 × 6371000     		du = 4100.32279350691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57578823)-sin(0.57514477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838763374870166-0.839113562664238)×R²
    abs(1.94201968-1.94125269)×0.000350187794071699×R²
    0.000766990000000023×0.000350187794071699×6371000²
    0.000766990000000023×0.000350187794071699×40589641000000     		ar = 16805699.3742142m²