Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6625 / 6253
↖ ↑ ↗
← S 68.350595°
E111.137696°		 ← 1 802.76 m → S 68.350595°
E111.181641°		 →
↑
1 802.10 m
↓
↑
1 802.10 m
↓
S 68.366801°
E111.137696°		 ← 1 801.47 m →
3 247 589 m²		 S 68.366801°
E111.181641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80877685546875 y=0.76336669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80877685546875 × 213)
    floor (0.80877685546875 × 8192)
    floor (6625.5)     		tx = 6625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76336669921875 × 213)
    floor (0.76336669921875 × 8192)
    floor (6253.5)     		ty = 6253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6625 / 6253 ti = "13/6625/6253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6625/6253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6625 ÷ 213
    6625 ÷ 8192     		x = 0.8087158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6253 ÷ 213
    6253 ÷ 8192     		y = 0.7633056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8087158203125 × 2 - 1) × π
    0.617431640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.93971871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7633056640625 × 2 - 1) × π
    -0.526611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65439827968738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93971871} λ = 1.93971871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65439827968738))-π/2
    2×atan(0.191207074277999)-π/2
    2×0.188926705322163-π/2
    0.377853410644325-1.57079632675     		φ = -1.19294292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93971871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.137696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19294292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.350595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6625 KachelY 6253 1.93971871 -1.19294292 111.137696 -68.350595
    Oben rechts KachelX + 1 6626 KachelY 6253 1.94048570 -1.19294292 111.181641 -68.350595
    Unten links KachelX 6625 KachelY + 1 6254 1.93971871 -1.19322578 111.137696 -68.366801
    Unten rechts KachelX + 1 6626 KachelY + 1 6254 1.94048570 -1.19322578 111.181641 -68.366801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19294292--1.19322578) × R
    0.000282859999999996 × 6371000     		dl = 1802.10105999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19294292--1.19322578) × R
    0.000282859999999996 × 6371000     		dr = 1802.10105999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93971871-1.94048570) × cos(-1.19294292) × R
    0.000766990000000023 × 0.368926151172458 × 6371000     		do = 1802.75516220979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93971871-1.94048570) × cos(-1.19322578) × R
    0.000766990000000023 × 0.368663229726192 × 6371000     		du = 1801.47039832682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19294292)-sin(-1.19322578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368926151172458-0.368663229726192)×R²
    abs(1.94048570-1.93971871)×0.000262921446265607×R²
    0.000766990000000023×0.000262921446265607×6371000²
    0.000766990000000023×0.000262921446265607×40589641000000     		ar = 3247589.37321395m²