Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6625 / 3299
↖ ↑ ↗
← N 33.027088°
E111.137696°		 ← 4 096.90 m → N 33.027088°
E111.181641°		 →
↑
4 097.76 m
↓
↑
4 097.76 m
↓
N 32.990235°
E111.137696°		 ← 4 098.61 m →
16 791 634 m²		 N 32.990235°
E111.181641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80877685546875 y=0.40277099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80877685546875 × 213)
    floor (0.80877685546875 × 8192)
    floor (6625.5)     		tx = 6625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40277099609375 × 213)
    floor (0.40277099609375 × 8192)
    floor (3299.5)     		ty = 3299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6625 / 3299 ti = "13/6625/3299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6625/3299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6625 ÷ 213
    6625 ÷ 8192     		x = 0.8087158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3299 ÷ 213
    3299 ÷ 8192     		y = 0.4027099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8087158203125 × 2 - 1) × π
    0.617431640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.93971871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4027099609375 × 2 - 1) × π
    0.194580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.611291343954956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93971871} λ = 1.93971871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.611291343954956))-π/2
    2×atan(1.84280956392708)-π/2
    2×1.07361387369814-π/2
    2.14722774739628-1.57079632675     		φ = 0.57643142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93971871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.137696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57643142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.027088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6625 KachelY 3299 1.93971871 0.57643142 111.137696 33.027088
    Oben rechts KachelX + 1 6626 KachelY 3299 1.94048570 0.57643142 111.181641 33.027088
    Unten links KachelX 6625 KachelY + 1 3300 1.93971871 0.57578823 111.137696 32.990235
    Unten rechts KachelX + 1 6626 KachelY + 1 3300 1.94048570 0.57578823 111.181641 32.990235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57643142-0.57578823) × R
    0.000643190000000016 × 6371000     		dl = 4097.7634900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57643142-0.57578823) × R
    0.000643190000000016 × 6371000     		dr = 4097.7634900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93971871-1.94048570) × cos(0.57643142) × R
    0.000766990000000023 × 0.838412986953479 × 6371000     		do = 4096.89943499715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93971871-1.94048570) × cos(0.57578823) × R
    0.000766990000000023 × 0.838763374870166 × 6371000     		du = 4098.61160320094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57643142)-sin(0.57578823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838412986953479-0.838763374870166)×R²
    abs(1.94048570-1.93971871)×0.000350387916687178×R²
    0.000766990000000023×0.000350387916687178×6371000²
    0.000766990000000023×0.000350387916687178×40589641000000     		ar = 16791633.5359915m²