Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6624 / 3297
↖ ↑ ↗
← N 33.100745°
E111.093750°		 ← 4 093.47 m → N 33.100745°
E111.137696°		 →
↑
4 094.32 m
↓
↑
4 094.32 m
↓
N 33.063924°
E111.093750°		 ← 4 095.19 m →
16 763 508 m²		 N 33.063924°
E111.137696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80865478515625 y=0.40252685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80865478515625 × 213)
    floor (0.80865478515625 × 8192)
    floor (6624.5)     		tx = 6624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40252685546875 × 213)
    floor (0.40252685546875 × 8192)
    floor (3297.5)     		ty = 3297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6624 / 3297 ti = "13/6624/3297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6624/3297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6624 ÷ 213
    6624 ÷ 8192     		x = 0.80859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3297 ÷ 213
    3297 ÷ 8192     		y = 0.4024658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80859375 × 2 - 1) × π
    0.6171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93895172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4024658203125 × 2 - 1) × π
    0.195068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.612825324742798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93895172} λ = 1.93895172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.612825324742798))-π/2
    2×atan(1.84563856765774)-π/2
    2×1.07425665948219-π/2
    2.14851331896437-1.57079632675     		φ = 0.57771699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93895172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57771699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.100745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6624 KachelY 3297 1.93895172 0.57771699 111.093750 33.100745
    Oben rechts KachelX + 1 6625 KachelY 3297 1.93971871 0.57771699 111.137696 33.100745
    Unten links KachelX 6624 KachelY + 1 3298 1.93895172 0.57707434 111.093750 33.063924
    Unten rechts KachelX + 1 6625 KachelY + 1 3298 1.93971871 0.57707434 111.137696 33.063924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57771699-0.57707434) × R
    0.000642649999999967 × 6371000     		dl = 4094.32314999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57771699-0.57707434) × R
    0.000642649999999967 × 6371000     		dr = 4094.32314999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93895172-1.93971871) × cos(0.57771699) × R
    0.000766990000000023 × 0.837711613079229 × 6371000     		do = 4093.47217626685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93895172-1.93971871) × cos(0.57707434) × R
    0.000766990000000023 × 0.83806239949602 × 6371000     		du = 4095.18629173872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57771699)-sin(0.57707434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837711613079229-0.83806239949602)×R²
    abs(1.93971871-1.93895172)×0.000350786416791093×R²
    0.000766990000000023×0.000350786416791093×6371000²
    0.000766990000000023×0.000350786416791093×40589641000000     		ar = 16763507.5434384m²