Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6624 / 12770
↖ ↑ ↗
← S 70.392606°
W 34.453125°		 ← 819.90 m → S 70.392606°
W 34.431152°		 →
↑
819.69 m
↓
↑
819.69 m
↓
S 70.399978°
W 34.453125°		 ← 819.60 m →
671 944 m²		 S 70.399978°
W 34.431152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404327392578125 y=0.779449462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404327392578125 × 214)
    floor (0.404327392578125 × 16384)
    floor (6624.5)     		tx = 6624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779449462890625 × 214)
    floor (0.779449462890625 × 16384)
    floor (12770.5)     		ty = 12770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6624 / 12770 ti = "14/6624/12770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6624/12770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6624 ÷ 214
    6624 ÷ 16384     		x = 0.404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12770 ÷ 214
    12770 ÷ 16384     		y = 0.7794189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404296875 × 2 - 1) × π
    -0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7794189453125 × 2 - 1) × π
    -0.558837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75564101168494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60132047} λ = -0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75564101168494))-π/2
    2×atan(0.172796442244854)-π/2
    2×0.171106790339466-π/2
    0.342213580678932-1.57079632675     		φ = -1.22858275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22858275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.392606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6624 KachelY 12770 -0.60132047 -1.22858275 -34.453125 -70.392606
    Oben rechts KachelX + 1 6625 KachelY 12770 -0.60093697 -1.22858275 -34.431152 -70.392606
    Unten links KachelX 6624 KachelY + 1 12771 -0.60132047 -1.22871141 -34.453125 -70.399978
    Unten rechts KachelX + 1 6625 KachelY + 1 12771 -0.60093697 -1.22871141 -34.431152 -70.399978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22858275--1.22871141) × R
    0.000128660000000114 × 6371000     		dl = 819.692860000724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22858275--1.22871141) × R
    0.000128660000000114 × 6371000     		dr = 819.692860000724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60132047--0.60093697) × cos(-1.22858275) × R
    0.000383499999999981 × 0.335573133257393 × 6371000     		do = 819.898621665383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60132047--0.60093697) × cos(-1.22871141) × R
    0.000383499999999981 × 0.335451930938833 × 6371000     		du = 819.602490646296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22858275)-sin(-1.22871141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335573133257393-0.335451930938833)×R²
    abs(-0.60093697--0.60132047)×0.000121202318559666×R²
    0.000383499999999981×0.000121202318559666×6371000²
    0.000383499999999981×0.000121202318559666×40589641000000     		ar = 671943.678789668m²