Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6624 / 11746
↖ ↑ ↗
← S 61.291349°
W 34.453125°		 ← 1 173.64 m → S 61.291349°
W 34.431152°		 →
↑
1 173.41 m
↓
↑
1 173.41 m
↓
S 61.301902°
W 34.453125°		 ← 1 173.25 m →
1 376 934 m²		 S 61.301902°
W 34.431152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404327392578125 y=0.716949462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404327392578125 × 214)
    floor (0.404327392578125 × 16384)
    floor (6624.5)     		tx = 6624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716949462890625 × 214)
    floor (0.716949462890625 × 16384)
    floor (11746.5)     		ty = 11746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6624 / 11746 ti = "14/6624/11746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6624/11746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6624 ÷ 214
    6624 ÷ 16384     		x = 0.404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11746 ÷ 214
    11746 ÷ 16384     		y = 0.7169189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404296875 × 2 - 1) × π
    -0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7169189453125 × 2 - 1) × π
    -0.433837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.36294192999744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60132047} λ = -0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36294192999744))-π/2
    2×atan(0.255906808519644)-π/2
    2×0.250530239420859-π/2
    0.501060478841719-1.57079632675     		φ = -1.06973585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06973585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.291349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6624 KachelY 11746 -0.60132047 -1.06973585 -34.453125 -61.291349
    Oben rechts KachelX + 1 6625 KachelY 11746 -0.60093697 -1.06973585 -34.431152 -61.291349
    Unten links KachelX 6624 KachelY + 1 11747 -0.60132047 -1.06992003 -34.453125 -61.301902
    Unten rechts KachelX + 1 6625 KachelY + 1 11747 -0.60093697 -1.06992003 -34.431152 -61.301902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06973585--1.06992003) × R
    0.000184179999999978 × 6371000     		dl = 1173.41077999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06973585--1.06992003) × R
    0.000184179999999978 × 6371000     		dr = 1173.41077999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60132047--0.60093697) × cos(-1.06973585) × R
    0.000383499999999981 × 0.480355924788656 × 6371000     		do = 1173.64330338368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60132047--0.60093697) × cos(-1.06992003) × R
    0.000383499999999981 × 0.480194377217541 × 6371000     		du = 1173.24859767645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06973585)-sin(-1.06992003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480355924788656-0.480194377217541)×R²
    abs(-0.60093697--0.60132047)×0.000161547571115528×R²
    0.000383499999999981×0.000161547571115528×6371000²
    0.000383499999999981×0.000161547571115528×40589641000000     		ar = 1376934.13199126m²