Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6623 / 12769
↖ ↑ ↗
← S 70.385231°
W 34.475097°		 ← 820.17 m → S 70.385231°
W 34.453125°		 →
↑
820.08 m
↓
↑
820.08 m
↓
S 70.392606°
W 34.475097°		 ← 819.88 m →
672 482 m²		 S 70.392606°
W 34.453125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404266357421875 y=0.779388427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404266357421875 × 214)
    floor (0.404266357421875 × 16384)
    floor (6623.5)     		tx = 6623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779388427734375 × 214)
    floor (0.779388427734375 × 16384)
    floor (12769.5)     		ty = 12769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6623 / 12769 ti = "14/6623/12769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6623/12769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6623 ÷ 214
    6623 ÷ 16384     		x = 0.40423583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12769 ÷ 214
    12769 ÷ 16384     		y = 0.77935791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40423583984375 × 2 - 1) × π
    -0.1915283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60170396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77935791015625 × 2 - 1) × π
    -0.5587158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75525751648798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60170396} λ = -0.60170396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75525751648798))-π/2
    2×atan(0.172862721558593)-π/2
    2×0.171171147306438-π/2
    0.342342294612876-1.57079632675     		φ = -1.22845403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60170396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.475097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22845403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.385231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6623 KachelY 12769 -0.60170396 -1.22845403 -34.475097 -70.385231
    Oben rechts KachelX + 1 6624 KachelY 12769 -0.60132047 -1.22845403 -34.453125 -70.385231
    Unten links KachelX 6623 KachelY + 1 12770 -0.60170396 -1.22858275 -34.475097 -70.392606
    Unten rechts KachelX + 1 6624 KachelY + 1 12770 -0.60132047 -1.22858275 -34.453125 -70.392606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22845403--1.22858275) × R
    0.000128719999999971 × 6371000     		dl = 820.075119999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22845403--1.22858275) × R
    0.000128719999999971 × 6371000     		dr = 820.075119999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60170396--0.60132047) × cos(-1.22845403) × R
    0.000383490000000042 × 0.335694386539336 × 6371000     		do = 820.173490112972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60170396--0.60132047) × cos(-1.22858275) × R
    0.000383490000000042 × 0.335573133257393 × 6371000     		du = 819.877242301193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22845403)-sin(-1.22858275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335694386539336-0.335573133257393)×R²
    abs(-0.60132047--0.60170396)×0.000121253281942568×R²
    0.000383490000000042×0.000121253281942568×6371000²
    0.000383490000000042×0.000121253281942568×40589641000000     		ar = 672482.401524484m²