Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6623 / 11747
↖ ↑ ↗
← S 61.301902°
W 34.475097°		 ← 1 173.22 m → S 61.301902°
W 34.453125°		 →
↑
1 173.03 m
↓
↑
1 173.03 m
↓
S 61.312451°
W 34.475097°		 ← 1 172.82 m →
1 375 987 m²		 S 61.312451°
W 34.453125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404266357421875 y=0.717010498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404266357421875 × 214)
    floor (0.404266357421875 × 16384)
    floor (6623.5)     		tx = 6623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717010498046875 × 214)
    floor (0.717010498046875 × 16384)
    floor (11747.5)     		ty = 11747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6623 / 11747 ti = "14/6623/11747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6623/11747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6623 ÷ 214
    6623 ÷ 16384     		x = 0.40423583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11747 ÷ 214
    11747 ÷ 16384     		y = 0.71697998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40423583984375 × 2 - 1) × π
    -0.1915283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60170396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71697998046875 × 2 - 1) × π
    -0.4339599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.3633254251944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60170396} λ = -0.60170396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3633254251944))-π/2
    2×atan(0.255808688303226)-π/2
    2×0.250438147814579-π/2
    0.500876295629157-1.57079632675     		φ = -1.06992003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60170396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.475097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06992003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.301902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6623 KachelY 11747 -0.60170396 -1.06992003 -34.475097 -61.301902
    Oben rechts KachelX + 1 6624 KachelY 11747 -0.60132047 -1.06992003 -34.453125 -61.301902
    Unten links KachelX 6623 KachelY + 1 11748 -0.60170396 -1.07010415 -34.475097 -61.312451
    Unten rechts KachelX + 1 6624 KachelY + 1 11748 -0.60132047 -1.07010415 -34.453125 -61.312451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06992003--1.07010415) × R
    0.000184119999999899 × 6371000     		dl = 1173.02851999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06992003--1.07010415) × R
    0.000184119999999899 × 6371000     		dr = 1173.02851999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60170396--0.60132047) × cos(-1.06992003) × R
    0.000383490000000042 × 0.480194377217541 × 6371000     		do = 1173.21800449286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60170396--0.60132047) × cos(-1.07010415) × R
    0.000383490000000042 × 0.480032865992172 × 6371000     		du = 1172.82339787829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06992003)-sin(-1.07010415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480194377217541-0.480032865992172)×R²
    abs(-0.60132047--0.60170396)×0.000161511225368727×R²
    0.000383490000000042×0.000161511225368727×6371000²
    0.000383490000000042×0.000161511225368727×40589641000000     		ar = 1375986.74092723m²