Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6622 / 12771
↖ ↑ ↗
← S 70.399978°
W 34.497070°		 ← 819.60 m → S 70.399978°
W 34.475097°		 →
↑
819.44 m
↓
↑
819.44 m
↓
S 70.407347°
W 34.497070°		 ← 819.31 m →
671 492 m²		 S 70.407347°
W 34.475097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404205322265625 y=0.779510498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404205322265625 × 214)
    floor (0.404205322265625 × 16384)
    floor (6622.5)     		tx = 6622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779510498046875 × 214)
    floor (0.779510498046875 × 16384)
    floor (12771.5)     		ty = 12771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6622 / 12771 ti = "14/6622/12771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6622/12771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6622 ÷ 214
    6622 ÷ 16384     		x = 0.4041748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12771 ÷ 214
    12771 ÷ 16384     		y = 0.77947998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4041748046875 × 2 - 1) × π
    -0.191650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60208746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77947998046875 × 2 - 1) × π
    -0.5589599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7560245068819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60208746} λ = -0.60208746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7560245068819))-π/2
    2×atan(0.172730188344039)-π/2
    2×0.171042456617758-π/2
    0.342084913235516-1.57079632675     		φ = -1.22871141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60208746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.497070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22871141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.399978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6622 KachelY 12771 -0.60208746 -1.22871141 -34.497070 -70.399978
    Oben rechts KachelX + 1 6623 KachelY 12771 -0.60170396 -1.22871141 -34.475097 -70.399978
    Unten links KachelX 6622 KachelY + 1 12772 -0.60208746 -1.22884003 -34.497070 -70.407347
    Unten rechts KachelX + 1 6623 KachelY + 1 12772 -0.60170396 -1.22884003 -34.475097 -70.407347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22871141--1.22884003) × R
    0.000128619999999913 × 6371000     		dl = 819.438019999444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22871141--1.22884003) × R
    0.000128619999999913 × 6371000     		dr = 819.438019999444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60208746--0.60170396) × cos(-1.22871141) × R
    0.000383499999999981 × 0.335451930938833 × 6371000     		do = 819.602490646296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60208746--0.60170396) × cos(-1.22884003) × R
    0.000383499999999981 × 0.335330760751424 × 6371000     		du = 819.306438132558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22871141)-sin(-1.22884003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335451930938833-0.335330760751424)×R²
    abs(-0.60170396--0.60208746)×0.000121170187409203×R²
    0.000383499999999981×0.000121170187409203×6371000²
    0.000383499999999981×0.000121170187409203×40589641000000     		ar = 671492.144704542m²