Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6621 / 2699
↖ ↑ ↗
← N 52.187405°
E110.961914°		 ← 2 995.85 m → N 52.187405°
E111.005860°		 →
↑
2 996.73 m
↓
↑
2 996.73 m
↓
N 52.160454°
E110.961914°		 ← 2 997.67 m →
8 980 478 m²		 N 52.160454°
E111.005860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80828857421875 y=0.32952880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80828857421875 × 213)
    floor (0.80828857421875 × 8192)
    floor (6621.5)     		tx = 6621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32952880859375 × 213)
    floor (0.32952880859375 × 8192)
    floor (2699.5)     		ty = 2699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6621 / 2699 ti = "13/6621/2699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6621/2699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6621 ÷ 213
    6621 ÷ 8192     		x = 0.8082275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2699 ÷ 213
    2699 ÷ 8192     		y = 0.3294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8082275390625 × 2 - 1) × π
    0.616455078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.93665074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3294677734375 × 2 - 1) × π
    0.341064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0714855803075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93665074} λ = 1.93665074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0714855803075))-π/2
    2×atan(2.91971374899141)-π/2
    2×1.24081918382887-π/2
    2.48163836765775-1.57079632675     		φ = 0.91084204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93665074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.961914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91084204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.187405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6621 KachelY 2699 1.93665074 0.91084204 110.961914 52.187405
    Oben rechts KachelX + 1 6622 KachelY 2699 1.93741774 0.91084204 111.005860 52.187405
    Unten links KachelX 6621 KachelY + 1 2700 1.93665074 0.91037167 110.961914 52.160454
    Unten rechts KachelX + 1 6622 KachelY + 1 2700 1.93741774 0.91037167 111.005860 52.160454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91084204-0.91037167) × R
    0.000470370000000053 × 6371000     		dl = 2996.72727000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91084204-0.91037167) × R
    0.000470370000000053 × 6371000     		dr = 2996.72727000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93665074-1.93741774) × cos(0.91084204) × R
    0.000767000000000184 × 0.613080738255924 × 6371000     		do = 2995.85397309037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93665074-1.93741774) × cos(0.91037167) × R
    0.000767000000000184 × 0.613452272249651 × 6371000     		du = 2997.66949512816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91084204)-sin(0.91037167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613080738255924-0.613452272249651)×R²
    abs(1.93741774-1.93665074)×0.000371533993727802×R²
    0.000767000000000184×0.000371533993727802×6371000²
    0.000767000000000184×0.000371533993727802×40589641000000     		ar = 8980477.77587362m²