Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6620 / 12768
↖ ↑ ↗
← S 70.377854°
W 34.541016°		 ← 820.49 m → S 70.377854°
W 34.519043°		 →
↑
820.33 m
↓
↑
820.33 m
↓
S 70.385231°
W 34.541016°		 ← 820.19 m →
672 952 m²		 S 70.385231°
W 34.519043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404083251953125 y=0.779327392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404083251953125 × 214)
    floor (0.404083251953125 × 16384)
    floor (6620.5)     		tx = 6620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779327392578125 × 214)
    floor (0.779327392578125 × 16384)
    floor (12768.5)     		ty = 12768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6620 / 12768 ti = "14/6620/12768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6620/12768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6620 ÷ 214
    6620 ÷ 16384     		x = 0.404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12768 ÷ 214
    12768 ÷ 16384     		y = 0.779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404052734375 × 2 - 1) × π
    -0.19189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60285445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779296875 × 2 - 1) × π
    -0.55859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75487402129102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60285445} λ = -0.60285445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75487402129102))-π/2
    2×atan(0.172929026295006)-π/2
    2×0.171235527526007-π/2
    0.342471055052013-1.57079632675     		φ = -1.22832527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60285445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.541016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22832527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.377854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6620 KachelY 12768 -0.60285445 -1.22832527 -34.541016 -70.377854
    Oben rechts KachelX + 1 6621 KachelY 12768 -0.60247095 -1.22832527 -34.519043 -70.377854
    Unten links KachelX 6620 KachelY + 1 12769 -0.60285445 -1.22845403 -34.541016 -70.385231
    Unten rechts KachelX + 1 6621 KachelY + 1 12769 -0.60247095 -1.22845403 -34.519043 -70.385231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22832527--1.22845403) × R
    0.00012875999999995 × 6371000     		dl = 820.329959999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22832527--1.22845403) × R
    0.00012875999999995 × 6371000     		dr = 820.329959999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60285445--0.60247095) × cos(-1.22832527) × R
    0.000383500000000092 × 0.335815671936321 × 6371000     		do = 820.491211205264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60285445--0.60247095) × cos(-1.22845403) × R
    0.000383500000000092 × 0.335694386539336 × 6371000     		du = 820.194877202445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22832527)-sin(-1.22845403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335815671936321-0.335694386539336)×R²
    abs(-0.60247095--0.60285445)×0.000121285396985693×R²
    0.000383500000000092×0.000121285396985693×6371000²
    0.000383500000000092×0.000121285396985693×40589641000000     		ar = 672951.977566876m²