Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66199 / 35991
↖ ↑ ↗
← N 62.725792°
E  1.820984°		 ← 139.96 m → N 62.725792°
E  1.823730°		 →
↑
139.91 m
↓
↑
139.91 m
↓
N 62.724533°
E  1.820984°		 ← 139.97 m →
19 582 m²		 N 62.724533°
E  1.823730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505062103271484 y=0.274593353271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505062103271484 × 217)
    floor (0.505062103271484 × 131072)
    floor (66199.5)     		tx = 66199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274593353271484 × 217)
    floor (0.274593353271484 × 131072)
    floor (35991.5)     		ty = 35991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66199 / 35991 ti = "17/66199/35991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66199/35991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66199 ÷ 217
    66199 ÷ 131072     		x = 0.505058288574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35991 ÷ 217
    35991 ÷ 131072     		y = 0.274589538574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505058288574219 × 2 - 1) × π
    0.0101165771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.03178216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274589538574219 × 2 - 1) × π
    0.450820922851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.41629569927456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03178216} λ = 0.03178216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41629569927456))-π/2
    2×atan(4.12182365144794)-π/2
    2×1.33278396025742-π/2
    2.66556792051483-1.57079632675     		φ = 1.09477159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03178216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.820984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09477159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.725792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66199 KachelY 35991 0.03178216 1.09477159 1.820984 62.725792
    Oben rechts KachelX + 1 66200 KachelY 35991 0.03183010 1.09477159 1.823730 62.725792
    Unten links KachelX 66199 KachelY + 1 35992 0.03178216 1.09474963 1.820984 62.724533
    Unten rechts KachelX + 1 66200 KachelY + 1 35992 0.03183010 1.09474963 1.823730 62.724533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09477159-1.09474963) × R
    2.19599999999875e-05 × 6371000     		dl = 139.907159999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09477159-1.09474963) × R
    2.19599999999875e-05 × 6371000     		dr = 139.907159999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03178216-0.03183010) × cos(1.09477159) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.458249497870533 × 6371000     		do = 139.961191991745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03178216-0.03183010) × cos(1.09474963) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.458269016326365 × 6371000     		du = 139.967153430562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09477159)-sin(1.09474963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458249497870533-0.458269016326365)×R²
    abs(0.03183010-0.03178216)×1.9518455832368e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.9518455832368e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.9518455832368e-05×40589641000000     		ar = 19581.9899066795m²