Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66192 / 76016
↖ ↑ ↗
← S 27.644606°
E  1.801758°		 ← 270.50 m → S 27.644606°
E  1.804504°		 →
↑
270.58 m
↓
↑
270.58 m
↓
S 27.647040°
E  1.801758°		 ← 270.50 m →
73 191 m²		 S 27.647040°
E  1.804504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505008697509766 y=0.579959869384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505008697509766 × 217)
    floor (0.505008697509766 × 131072)
    floor (66192.5)     		tx = 66192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579959869384766 × 217)
    floor (0.579959869384766 × 131072)
    floor (76016.5)     		ty = 76016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66192 / 76016 ti = "17/66192/76016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66192/76016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66192 ÷ 217
    66192 ÷ 131072     		x = 0.5050048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76016 ÷ 217
    76016 ÷ 131072     		y = 0.5799560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5050048828125 × 2 - 1) × π
    0.010009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03144661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5799560546875 × 2 - 1) × π
    -0.159912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.502378708018189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03144661} λ = 0.03144661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.502378708018189))-π/2
    2×atan(0.605089614960933)-π/2
    2×0.544153462512434-π/2
    1.08830692502487-1.57079632675     		φ = -0.48248940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03144661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.801758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48248940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.644606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66192 KachelY 76016 0.03144661 -0.48248940 1.801758 -27.644606
    Oben rechts KachelX + 1 66193 KachelY 76016 0.03149454 -0.48248940 1.804504 -27.644606
    Unten links KachelX 66192 KachelY + 1 76017 0.03144661 -0.48253187 1.801758 -27.647040
    Unten rechts KachelX + 1 66193 KachelY + 1 76017 0.03149454 -0.48253187 1.804504 -27.647040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48248940--0.48253187) × R
    4.24699999999611e-05 × 6371000     		dl = 270.576369999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48248940--0.48253187) × R
    4.24699999999611e-05 × 6371000     		dr = 270.576369999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03144661-0.03149454) × cos(-0.48248940) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.885842622484829 × 6371000     		do = 270.5027014625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03144661-0.03149454) × cos(-0.48253187) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.88582291620784 × 6371000     		du = 270.496683913755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48248940)-sin(-0.48253187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885842622484829-0.88582291620784)×R²
    abs(0.03149454-0.03144661)×1.97062769886625e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.97062769886625e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.97062769886625e-05×40589641000000     		ar = 73190.8249445408m²