Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6618 / 1466
↖ ↑ ↗
← N 81.328221°
W 34.584961°		 ← 368.38 m → N 81.328221°
W 34.562988°		 →
↑
368.43 m
↓
↑
368.43 m
↓
N 81.324908°
W 34.584961°		 ← 368.52 m →
135 751 m²		 N 81.324908°
W 34.562988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403961181640625 y=0.089508056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403961181640625 × 214)
    floor (0.403961181640625 × 16384)
    floor (6618.5)     		tx = 6618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.089508056640625 × 214)
    floor (0.089508056640625 × 16384)
    floor (1466.5)     		ty = 1466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6618 / 1466 ti = "14/6618/1466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6618/1466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6618 ÷ 214
    6618 ÷ 16384     		x = 0.4039306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1466 ÷ 214
    1466 ÷ 16384     		y = 0.0894775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4039306640625 × 2 - 1) × π
    -0.192138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60362144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0894775390625 × 2 - 1) × π
    0.821044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.57938869475598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60362144} λ = -0.60362144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57938869475598))-π/2
    2×atan(13.1890731452393)-π/2
    2×1.49512077853808-π/2
    2.99024155707616-1.57079632675     		φ = 1.41944523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60362144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.584961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41944523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.328221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6618 KachelY 1466 -0.60362144 1.41944523 -34.584961 81.328221
    Oben rechts KachelX + 1 6619 KachelY 1466 -0.60323794 1.41944523 -34.562988 81.328221
    Unten links KachelX 6618 KachelY + 1 1467 -0.60362144 1.41938740 -34.584961 81.324908
    Unten rechts KachelX + 1 6619 KachelY + 1 1467 -0.60323794 1.41938740 -34.562988 81.324908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41944523-1.41938740) × R
    5.78300000000365e-05 × 6371000     		dl = 368.434930000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41944523-1.41938740) × R
    5.78300000000365e-05 × 6371000     		dr = 368.434930000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60362144--0.60323794) × cos(1.41944523) × R
    0.000383499999999981 × 0.150773921104602 × 6371000     		do = 368.382679795552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60362144--0.60323794) × cos(1.41938740) × R
    0.000383499999999981 × 0.150831089755514 × 6371000     		du = 368.522358731201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41944523)-sin(1.41938740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150773921104602-0.150831089755514)×R²
    abs(-0.60323794--0.60362144)×5.7168650912709e-05×R²
    0.000383499999999981×5.7168650912709e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.7168650912709e-05×40589641000000     		ar = 135750.778181409m²