Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6618 / 12783
↖ ↑ ↗
← S 70.488236°
W 34.584961°		 ← 816.06 m → S 70.488236°
W 34.562988°		 →
↑
815.93 m
↓
↑
815.93 m
↓
S 70.495574°
W 34.584961°		 ← 815.76 m →
665 727 m²		 S 70.495574°
W 34.562988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403961181640625 y=0.780242919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403961181640625 × 214)
    floor (0.403961181640625 × 16384)
    floor (6618.5)     		tx = 6618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780242919921875 × 214)
    floor (0.780242919921875 × 16384)
    floor (12783.5)     		ty = 12783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6618 / 12783 ti = "14/6618/12783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6618/12783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6618 ÷ 214
    6618 ÷ 16384     		x = 0.4039306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12783 ÷ 214
    12783 ÷ 16384     		y = 0.78021240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4039306640625 × 2 - 1) × π
    -0.192138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60362144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78021240234375 × 2 - 1) × π
    -0.5604248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76062644924542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60362144} λ = -0.60362144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76062644924542))-π/2
    2×atan(0.171937120199409)-π/2
    2×0.17027226242035-π/2
    0.3405445248407-1.57079632675     		φ = -1.23025180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60362144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.584961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23025180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.488236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6618 KachelY 12783 -0.60362144 -1.23025180 -34.584961 -70.488236
    Oben rechts KachelX + 1 6619 KachelY 12783 -0.60323794 -1.23025180 -34.562988 -70.488236
    Unten links KachelX 6618 KachelY + 1 12784 -0.60362144 -1.23037987 -34.584961 -70.495574
    Unten rechts KachelX + 1 6619 KachelY + 1 12784 -0.60323794 -1.23037987 -34.562988 -70.495574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23025180--1.23037987) × R
    0.000128069999999925 × 6371000     		dl = 815.93396999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23025180--1.23037987) × R
    0.000128069999999925 × 6371000     		dr = 815.93396999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60362144--0.60323794) × cos(-1.23025180) × R
    0.000383499999999981 × 0.334000397850807 × 6371000     		do = 816.055991060282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60362144--0.60323794) × cos(-1.23037987) × R
    0.000383499999999981 × 0.333879679796468 × 6371000     		du = 815.761043233555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23025180)-sin(-1.23037987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334000397850807-0.333879679796468)×R²
    abs(-0.60323794--0.60362144)×0.000120718054338331×R²
    0.000383499999999981×0.000120718054338331×6371000²
    0.000383499999999981×0.000120718054338331×40589641000000     		ar = 665727.476461811m²