Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6618 / 11793
↖ ↑ ↗
← S 61.783513°
W 34.584961°		 ← 1 155.19 m → S 61.783513°
W 34.562988°		 →
↑
1 155 m
↓
↑
1 155 m
↓
S 61.793900°
W 34.584961°		 ← 1 154.80 m →
1 334 021 m²		 S 61.793900°
W 34.562988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403961181640625 y=0.719818115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403961181640625 × 214)
    floor (0.403961181640625 × 16384)
    floor (6618.5)     		tx = 6618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719818115234375 × 214)
    floor (0.719818115234375 × 16384)
    floor (11793.5)     		ty = 11793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6618 / 11793 ti = "14/6618/11793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6618/11793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6618 ÷ 214
    6618 ÷ 16384     		x = 0.4039306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11793 ÷ 214
    11793 ÷ 16384     		y = 0.71978759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4039306640625 × 2 - 1) × π
    -0.192138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60362144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71978759765625 × 2 - 1) × π
    -0.4395751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38096620425458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60362144} λ = -0.60362144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38096620425458))-π/2
    2×atan(0.25133559418428)-π/2
    2×0.24623529737901-π/2
    0.49247059475802-1.57079632675     		φ = -1.07832573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60362144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.584961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07832573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.783513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6618 KachelY 11793 -0.60362144 -1.07832573 -34.584961 -61.783513
    Oben rechts KachelX + 1 6619 KachelY 11793 -0.60323794 -1.07832573 -34.562988 -61.783513
    Unten links KachelX 6618 KachelY + 1 11794 -0.60362144 -1.07850702 -34.584961 -61.793900
    Unten rechts KachelX + 1 6619 KachelY + 1 11794 -0.60323794 -1.07850702 -34.562988 -61.793900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07832573--1.07850702) × R
    0.000181290000000001 × 6371000     		dl = 1154.99859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07832573--1.07850702) × R
    0.000181290000000001 × 6371000     		dr = 1154.99859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60362144--0.60323794) × cos(-1.07832573) × R
    0.000383499999999981 × 0.472804338372219 × 6371000     		do = 1155.19267465151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60362144--0.60323794) × cos(-1.07850702) × R
    0.000383499999999981 × 0.472644583758257 × 6371000     		du = 1154.80234963794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07832573)-sin(-1.07850702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472804338372219-0.472644583758257)×R²
    abs(-0.60323794--0.60362144)×0.000159754613962226×R²
    0.000383499999999981×0.000159754613962226×6371000²
    0.000383499999999981×0.000159754613962226×40589641000000     		ar = 1334020.50163383m²