Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6617 / 11800
↖ ↑ ↗
← S 61.856149°
W 34.606934°		 ← 1 152.46 m → S 61.856149°
W 34.584961°		 →
↑
1 152.26 m
↓
↑
1 152.26 m
↓
S 61.866511°
W 34.606934°		 ← 1 152.07 m →
1 327 711 m²		 S 61.866511°
W 34.584961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403900146484375 y=0.720245361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403900146484375 × 214)
    floor (0.403900146484375 × 16384)
    floor (6617.5)     		tx = 6617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720245361328125 × 214)
    floor (0.720245361328125 × 16384)
    floor (11800.5)     		ty = 11800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6617 / 11800 ti = "14/6617/11800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6617/11800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6617 ÷ 214
    6617 ÷ 16384     		x = 0.40386962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11800 ÷ 214
    11800 ÷ 16384     		y = 0.72021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40386962890625 × 2 - 1) × π
    -0.1922607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60400494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72021484375 × 2 - 1) × π
    -0.4404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.3836506706333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60400494} λ = -0.60400494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3836506706333))-π/2
    2×atan(0.250661797029456)-π/2
    2×0.24560143386281-π/2
    0.491202867725619-1.57079632675     		φ = -1.07959346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60400494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.606934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07959346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.856149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6617 KachelY 11800 -0.60400494 -1.07959346 -34.606934 -61.856149
    Oben rechts KachelX + 1 6618 KachelY 11800 -0.60362144 -1.07959346 -34.584961 -61.856149
    Unten links KachelX 6617 KachelY + 1 11801 -0.60400494 -1.07977432 -34.606934 -61.866511
    Unten rechts KachelX + 1 6618 KachelY + 1 11801 -0.60362144 -1.07977432 -34.584961 -61.866511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07959346--1.07977432) × R
    0.000180860000000171 × 6371000     		dl = 1152.25906000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07959346--1.07977432) × R
    0.000180860000000171 × 6371000     		dr = 1152.25906000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60400494--0.60362144) × cos(-1.07959346) × R
    0.000383500000000092 × 0.471686876341331 × 6371000     		do = 1152.46240369721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60400494--0.60362144) × cos(-1.07977432) × R
    0.000383500000000092 × 0.471527392407187 × 6371000     		du = 1152.07274002982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07959346)-sin(-1.07977432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471686876341331-0.471527392407187)×R²
    abs(-0.60362144--0.60400494)×0.000159483934144389×R²
    0.000383500000000092×0.000159483934144389×6371000²
    0.000383500000000092×0.000159483934144389×40589641000000     		ar = 1327710.75284429m²