Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66161 / 76047
↖ ↑ ↗
← S 27.720005°
E  1.716614°		 ← 270.37 m → S 27.720005°
E  1.719360°		 →
↑
270.32 m
↓
↑
270.32 m
↓
S 27.722436°
E  1.716614°		 ← 270.37 m →
73 087 m²		 S 27.722436°
E  1.719360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504772186279297 y=0.580196380615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504772186279297 × 217)
    floor (0.504772186279297 × 131072)
    floor (66161.5)     		tx = 66161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580196380615234 × 217)
    floor (0.580196380615234 × 131072)
    floor (76047.5)     		ty = 76047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66161 / 76047 ti = "17/66161/76047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66161/76047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66161 ÷ 217
    66161 ÷ 131072     		x = 0.504768371582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76047 ÷ 217
    76047 ÷ 131072     		y = 0.580192565917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504768371582031 × 2 - 1) × π
    0.0095367431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02996056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580192565917969 × 2 - 1) × π
    -0.160385131835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.50386475190641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02996056} λ = 0.02996056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.50386475190641))-π/2
    2×atan(0.604191093023663)-π/2
    2×0.543495489059015-π/2
    1.08699097811803-1.57079632675     		φ = -0.48380535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02996056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.716614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48380535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.720005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66161 KachelY 76047 0.02996056 -0.48380535 1.716614 -27.720005
    Oben rechts KachelX + 1 66162 KachelY 76047 0.03000850 -0.48380535 1.719360 -27.720005
    Unten links KachelX 66161 KachelY + 1 76048 0.02996056 -0.48384778 1.716614 -27.722436
    Unten rechts KachelX + 1 66162 KachelY + 1 76048 0.03000850 -0.48384778 1.719360 -27.722436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48380535--0.48384778) × R
    4.24299999999822e-05 × 6371000     		dl = 270.321529999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48380535--0.48384778) × R
    4.24299999999822e-05 × 6371000     		dr = 270.321529999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02996056-0.03000850) × cos(-0.48380535) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.885231273493728 × 6371000     		do = 270.372416777963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02996056-0.03000850) × cos(-0.48384778) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.885211536333592 × 6371000     		du = 270.366388541223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48380535)-sin(-0.48384778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885231273493728-0.885211536333592)×R²
    abs(0.03000850-0.02996056)×1.97371601353691e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.97371601353691e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.97371601353691e-05×40589641000000     		ar = 73086.6706030785m²