Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66160 / 76049
↖ ↑ ↗
← S 27.724867°
E  1.713867°		 ← 270.30 m → S 27.724867°
E  1.716614°		 →
↑
270.32 m
↓
↑
270.32 m
↓
S 27.727298°
E  1.713867°		 ← 270.30 m →
73 068 m²		 S 27.727298°
E  1.716614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504764556884766 y=0.580211639404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504764556884766 × 217)
    floor (0.504764556884766 × 131072)
    floor (66160.5)     		tx = 66160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580211639404297 × 217)
    floor (0.580211639404297 × 131072)
    floor (76049.5)     		ty = 76049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66160 / 76049 ti = "17/66160/76049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66160/76049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66160 ÷ 217
    66160 ÷ 131072     		x = 0.5047607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76049 ÷ 217
    76049 ÷ 131072     		y = 0.580207824707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5047607421875 × 2 - 1) × π
    0.009521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02991263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580207824707031 × 2 - 1) × π
    -0.160415649414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.50396062570565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02991263} λ = 0.02991263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.50396062570565))-π/2
    2×atan(0.604133169704817)-π/2
    2×0.543453054762541-π/2
    1.08690610952508-1.57079632675     		φ = -0.48389022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02991263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.713867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48389022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.724867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66160 KachelY 76049 0.02991263 -0.48389022 1.713867 -27.724867
    Oben rechts KachelX + 1 66161 KachelY 76049 0.02996056 -0.48389022 1.716614 -27.724867
    Unten links KachelX 66160 KachelY + 1 76050 0.02991263 -0.48393265 1.713867 -27.727298
    Unten rechts KachelX + 1 66161 KachelY + 1 76050 0.02996056 -0.48393265 1.716614 -27.727298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48389022--0.48393265) × R
    4.24300000000377e-05 × 6371000     		dl = 270.32153000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48389022--0.48393265) × R
    4.24300000000377e-05 × 6371000     		dr = 270.32153000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02991263-0.02996056) × cos(-0.48389022) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.885191792927543 × 6371000     		do = 270.303962827703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02991263-0.02996056) × cos(-0.48393265) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.885172052579766 × 6371000     		du = 270.297934875033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48389022)-sin(-0.48393265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885191792927543-0.885172052579766)×R²
    abs(0.02996056-0.02991263)×1.97403477768532e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.97403477768532e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.97403477768532e-05×40589641000000     		ar = 73068.1660649748m²