Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66156 / 76014
↖ ↑ ↗
← S 27.639740°
E  1.702881°		 ← 270.51 m → S 27.639740°
E  1.705627°		 →
↑
270.58 m
↓
↑
270.58 m
↓
S 27.642174°
E  1.702881°		 ← 270.51 m →
73 194 m²		 S 27.642174°
E  1.705627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504734039306641 y=0.579944610595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504734039306641 × 217)
    floor (0.504734039306641 × 131072)
    floor (66156.5)     		tx = 66156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579944610595703 × 217)
    floor (0.579944610595703 × 131072)
    floor (76014.5)     		ty = 76014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66156 / 76014 ti = "17/66156/76014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66156/76014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66156 ÷ 217
    66156 ÷ 131072     		x = 0.504730224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76014 ÷ 217
    76014 ÷ 131072     		y = 0.579940795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504730224609375 × 2 - 1) × π
    0.00946044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02972088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579940795898438 × 2 - 1) × π
    -0.159881591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.502282834218948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02972088} λ = 0.02972088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.502282834218948))-π/2
    2×atan(0.605147629982216)-π/2
    2×0.544195928005729-π/2
    1.08839185601146-1.57079632675     		φ = -0.48240447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02972088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.702881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48240447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.639740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66156 KachelY 76014 0.02972088 -0.48240447 1.702881 -27.639740
    Oben rechts KachelX + 1 66157 KachelY 76014 0.02976881 -0.48240447 1.705627 -27.639740
    Unten links KachelX 66156 KachelY + 1 76015 0.02972088 -0.48244694 1.702881 -27.642174
    Unten rechts KachelX + 1 66157 KachelY + 1 76015 0.02976881 -0.48244694 1.705627 -27.642174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48240447--0.48244694) × R
    4.24700000000167e-05 × 6371000     		dl = 270.576370000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48240447--0.48244694) × R
    4.24700000000167e-05 × 6371000     		dr = 270.576370000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02972088-0.02976881) × cos(-0.48240447) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.885882025606279 × 6371000     		do = 270.514733679635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02972088-0.02976881) × cos(-0.48244694) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.88586232252454 × 6371000     		du = 270.508717106598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48240447)-sin(-0.48244694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885882025606279-0.88586232252454)×R²
    abs(0.02976881-0.02972088)×1.9703081739153e-05×R²
    4.79299999999981e-05×1.9703081739153e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×1.9703081739153e-05×40589641000000     		ar = 73194.0807103167m²