Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6615 / 12777
↖ ↑ ↗
← S 70.444155°
W 34.650879°		 ← 817.83 m → S 70.444155°
W 34.628906°		 →
↑
817.72 m
↓
↑
817.72 m
↓
S 70.451509°
W 34.650879°		 ← 817.53 m →
668 631 m²		 S 70.451509°
W 34.628906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403778076171875 y=0.779876708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403778076171875 × 214)
    floor (0.403778076171875 × 16384)
    floor (6615.5)     		tx = 6615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779876708984375 × 214)
    floor (0.779876708984375 × 16384)
    floor (12777.5)     		ty = 12777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6615 / 12777 ti = "14/6615/12777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6615/12777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6615 ÷ 214
    6615 ÷ 16384     		x = 0.40374755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12777 ÷ 214
    12777 ÷ 16384     		y = 0.77984619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40374755859375 × 2 - 1) × π
    -0.1925048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60477193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77984619140625 × 2 - 1) × π
    -0.5596923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75832547806366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60477193} λ = -0.60477193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75832547806366))-π/2
    2×atan(0.172333198065189)-π/2
    2×0.170656942027573-π/2
    0.341313884055147-1.57079632675     		φ = -1.22948244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60477193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.650879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22948244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.444155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6615 KachelY 12777 -0.60477193 -1.22948244 -34.650879 -70.444155
    Oben rechts KachelX + 1 6616 KachelY 12777 -0.60438843 -1.22948244 -34.628906 -70.444155
    Unten links KachelX 6615 KachelY + 1 12778 -0.60477193 -1.22961079 -34.650879 -70.451509
    Unten rechts KachelX + 1 6616 KachelY + 1 12778 -0.60438843 -1.22961079 -34.628906 -70.451509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22948244--1.22961079) × R
    0.000128349999999999 × 6371000     		dl = 817.717849999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22948244--1.22961079) × R
    0.000128349999999999 × 6371000     		dr = 817.717849999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60477193--0.60438843) × cos(-1.22948244) × R
    0.000383499999999981 × 0.334725476841199 × 6371000     		do = 817.82756096831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60477193--0.60438843) × cos(-1.22961079) × R
    0.000383499999999981 × 0.334604527865937 × 6371000     		du = 817.532048937454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22948244)-sin(-1.22961079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334725476841199-0.334604527865937)×R²
    abs(-0.60438843--0.60477193)×0.000120948975262547×R²
    0.000383499999999981×0.000120948975262547×6371000²
    0.000383499999999981×0.000120948975262547×40589641000000     		ar = 668631.373012753m²