Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66149 / 76003
↖ ↑ ↗
← S 27.612972°
E  1.683655°		 ← 270.64 m → S 27.612972°
E  1.686402°		 →
↑
270.64 m
↓
↑
270.64 m
↓
S 27.615406°
E  1.683655°		 ← 270.63 m →
73 244 m²		 S 27.615406°
E  1.686402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504680633544922 y=0.579860687255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504680633544922 × 217)
    floor (0.504680633544922 × 131072)
    floor (66149.5)     		tx = 66149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579860687255859 × 217)
    floor (0.579860687255859 × 131072)
    floor (76003.5)     		ty = 76003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66149 / 76003 ti = "17/66149/76003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66149/76003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66149 ÷ 217
    66149 ÷ 131072     		x = 0.504676818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76003 ÷ 217
    76003 ÷ 131072     		y = 0.579856872558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504676818847656 × 2 - 1) × π
    0.0093536376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02938532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579856872558594 × 2 - 1) × π
    -0.159713745117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.501755528323128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02938532} λ = 0.02938532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501755528323128))-π/2
    2×atan(0.605466812041243)-π/2
    2×0.544429521974729-π/2
    1.08885904394946-1.57079632675     		φ = -0.48193728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02938532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.683655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48193728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.612972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66149 KachelY 76003 0.02938532 -0.48193728 1.683655 -27.612972
    Oben rechts KachelX + 1 66150 KachelY 76003 0.02943326 -0.48193728 1.686402 -27.612972
    Unten links KachelX 66149 KachelY + 1 76004 0.02938532 -0.48197976 1.683655 -27.615406
    Unten rechts KachelX + 1 66150 KachelY + 1 76004 0.02943326 -0.48197976 1.686402 -27.615406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48193728--0.48197976) × R
    4.24799999999559e-05 × 6371000     		dl = 270.640079999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48193728--0.48197976) × R
    4.24799999999559e-05 × 6371000     		dr = 270.640079999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02938532-0.02943326) × cos(-0.48193728) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.886098663308357 × 6371000     		do = 270.637339953965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02938532-0.02943326) × cos(-0.48197976) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.88607897317051 × 6371000     		du = 270.631326079042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48193728)-sin(-0.48197976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886098663308357-0.88607897317051)×R²
    abs(0.02943326-0.02938532)×1.96901378473058e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.96901378473058e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.96901378473058e-05×40589641000000     		ar = 73244.4975492303m²