Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66148 / 76002
↖ ↑ ↗
← S 27.610539°
E  1.680908°		 ← 270.64 m → S 27.610539°
E  1.683655°		 →
↑
270.58 m
↓
↑
270.58 m
↓
S 27.612972°
E  1.680908°		 ← 270.64 m →
73 229 m²		 S 27.612972°
E  1.683655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504673004150391 y=0.579853057861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504673004150391 × 217)
    floor (0.504673004150391 × 131072)
    floor (66148.5)     		tx = 66148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579853057861328 × 217)
    floor (0.579853057861328 × 131072)
    floor (76002.5)     		ty = 76002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66148 / 76002 ti = "17/66148/76002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66148/76002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66148 ÷ 217
    66148 ÷ 131072     		x = 0.504669189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76002 ÷ 217
    76002 ÷ 131072     		y = 0.579849243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504669189453125 × 2 - 1) × π
    0.00933837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02933738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579849243164062 × 2 - 1) × π
    -0.159698486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.501707591423508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02933738} λ = 0.02933738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501707591423508))-π/2
    2×atan(0.605495836938711)-π/2
    2×0.544450760621975-π/2
    1.08890152124395-1.57079632675     		φ = -0.48189481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02933738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.680908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48189481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.610539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66148 KachelY 76002 0.02933738 -0.48189481 1.680908 -27.610539
    Oben rechts KachelX + 1 66149 KachelY 76002 0.02938532 -0.48189481 1.683655 -27.610539
    Unten links KachelX 66148 KachelY + 1 76003 0.02933738 -0.48193728 1.680908 -27.612972
    Unten rechts KachelX + 1 66149 KachelY + 1 76003 0.02938532 -0.48193728 1.683655 -27.612972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48189481--0.48193728) × R
    4.24700000000167e-05 × 6371000     		dl = 270.576370000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48189481--0.48193728) × R
    4.24700000000167e-05 × 6371000     		dr = 270.576370000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02933738-0.02938532) × cos(-0.48189481) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.886118347212604 × 6371000     		do = 270.643351924985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02933738-0.02938532) × cos(-0.48193728) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.886098663308357 × 6371000     		du = 270.637339953965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48189481)-sin(-0.48193728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886118347212604-0.886098663308357)×R²
    abs(0.02938532-0.02933738)×1.96839042472252e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.96839042472252e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.96839042472252e-05×40589641000000     		ar = 73228.8823909661m²