Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66147 / 76008
↖ ↑ ↗
← S 27.625141°
E  1.678162°		 ← 270.55 m → S 27.625141°
E  1.680908°		 →
↑
270.58 m
↓
↑
270.58 m
↓
S 27.627574°
E  1.678162°		 ← 270.54 m →
73 204 m²		 S 27.627574°
E  1.680908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504665374755859 y=0.579898834228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504665374755859 × 217)
    floor (0.504665374755859 × 131072)
    floor (66147.5)     		tx = 66147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579898834228516 × 217)
    floor (0.579898834228516 × 131072)
    floor (76008.5)     		ty = 76008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66147 / 76008 ti = "17/66147/76008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66147/76008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66147 ÷ 217
    66147 ÷ 131072     		x = 0.504661560058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76008 ÷ 217
    76008 ÷ 131072     		y = 0.57989501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504661560058594 × 2 - 1) × π
    0.0093231201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02928945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57989501953125 × 2 - 1) × π
    -0.1597900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.501995212821228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02928945} λ = 0.02928945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501995212821228))-π/2
    2×atan(0.605321708422521)-π/2
    2×0.544323335817371-π/2
    1.08864667163474-1.57079632675     		φ = -0.48214966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02928945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.678162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48214966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.625141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66147 KachelY 76008 0.02928945 -0.48214966 1.678162 -27.625141
    Oben rechts KachelX + 1 66148 KachelY 76008 0.02933738 -0.48214966 1.680908 -27.625141
    Unten links KachelX 66147 KachelY + 1 76009 0.02928945 -0.48219213 1.678162 -27.627574
    Unten rechts KachelX + 1 66148 KachelY + 1 76009 0.02933738 -0.48219213 1.680908 -27.627574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48214966--0.48219213) × R
    4.24700000000167e-05 × 6371000     		dl = 270.576370000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48214966--0.48219213) × R
    4.24700000000167e-05 × 6371000     		dr = 270.576370000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02928945-0.02933738) × cos(-0.48214966) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.886000205903432 × 6371000     		do = 270.550821455079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02928945-0.02933738) × cos(-0.48219213) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.885980512409047 × 6371000     		du = 270.544807809656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48214966)-sin(-0.48219213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886000205903432-0.885980512409047)×R²
    abs(0.02933738-0.02928945)×1.96934943852423e-05×R²
    4.79299999999981e-05×1.96934943852423e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×1.96934943852423e-05×40589641000000     		ar = 73203.8456056399m²