Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66144 / 76000
↖ ↑ ↗
← S 27.605671°
E  1.669922°		 ← 270.66 m → S 27.605671°
E  1.672668°		 →
↑
270.64 m
↓
↑
270.64 m
↓
S 27.608105°
E  1.669922°		 ← 270.65 m →
73 249 m²		 S 27.608105°
E  1.672668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504642486572266 y=0.579837799072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504642486572266 × 217)
    floor (0.504642486572266 × 131072)
    floor (66144.5)     		tx = 66144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579837799072266 × 217)
    floor (0.579837799072266 × 131072)
    floor (76000.5)     		ty = 76000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66144 / 76000 ti = "17/66144/76000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66144/76000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66144 ÷ 217
    66144 ÷ 131072     		x = 0.504638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76000 ÷ 217
    76000 ÷ 131072     		y = 0.579833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504638671875 × 2 - 1) × π
    0.00927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02914563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.15966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.501611717624268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02914563} λ = 0.02914563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501611717624268))-π/2
    2×atan(0.605553890907905)-π/2
    2×0.544493239332018-π/2
    1.08898647866404-1.57079632675     		φ = -0.48180985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02914563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.669922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48180985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.605671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66144 KachelY 76000 0.02914563 -0.48180985 1.669922 -27.605671
    Oben rechts KachelX + 1 66145 KachelY 76000 0.02919357 -0.48180985 1.672668 -27.605671
    Unten links KachelX 66144 KachelY + 1 76001 0.02914563 -0.48185233 1.669922 -27.608105
    Unten rechts KachelX + 1 66145 KachelY + 1 76001 0.02919357 -0.48185233 1.672668 -27.608105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48180985--0.48185233) × R
    4.24800000000114e-05 × 6371000     		dl = 270.640080000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48180985--0.48185233) × R
    4.24800000000114e-05 × 6371000     		dr = 270.640080000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02914563-0.02919357) × cos(-0.48180985) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.886157719493861 × 6371000     		do = 270.655377233124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02914563-0.02919357) × cos(-0.48185233) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.886138034152773 × 6371000     		du = 270.649364823255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48180985)-sin(-0.48185233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886157719493861-0.886138034152773)×R²
    abs(0.02919357-0.02914563)×1.96853410879827e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.96853410879827e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.96853410879827e-05×40589641000000     		ar = 73249.379358298m²