Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66144 / 35296
↖ ↑ ↗
← N 63.587675°
E  1.669922°		 ← 135.86 m → N 63.587675°
E  1.672668°		 →
↑
135.89 m
↓
↑
135.89 m
↓
N 63.586453°
E  1.669922°		 ← 135.87 m →
18 463 m²		 N 63.586453°
E  1.672668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504642486572266 y=0.269290924072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504642486572266 × 217)
    floor (0.504642486572266 × 131072)
    floor (66144.5)     		tx = 66144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269290924072266 × 217)
    floor (0.269290924072266 × 131072)
    floor (35296.5)     		ty = 35296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66144 / 35296 ti = "17/66144/35296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66144/35296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66144 ÷ 217
    66144 ÷ 131072     		x = 0.504638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35296 ÷ 217
    35296 ÷ 131072     		y = 0.269287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504638671875 × 2 - 1) × π
    0.00927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02914563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269287109375 × 2 - 1) × π
    0.46142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4496118445105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02914563} λ = 0.02914563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4496118445105))-π/2
    2×atan(4.26146008497623)-π/2
    2×1.34030531217905-π/2
    2.68061062435809-1.57079632675     		φ = 1.10981430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02914563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.669922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10981430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.587675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66144 KachelY 35296 0.02914563 1.10981430 1.669922 63.587675
    Oben rechts KachelX + 1 66145 KachelY 35296 0.02919357 1.10981430 1.672668 63.587675
    Unten links KachelX 66144 KachelY + 1 35297 0.02914563 1.10979297 1.669922 63.586453
    Unten rechts KachelX + 1 66145 KachelY + 1 35297 0.02919357 1.10979297 1.672668 63.586453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10981430-1.10979297) × R
    2.13300000000416e-05 × 6371000     		dl = 135.893430000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10981430-1.10979297) × R
    2.13300000000416e-05 × 6371000     		dr = 135.893430000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02914563-0.02919357) × cos(1.10981430) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.444827840319719 × 6371000     		do = 135.861872302251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02914563-0.02919357) × cos(1.10979297) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.444846943709866 × 6371000     		du = 135.867706969324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10981430)-sin(1.10979297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444827840319719-0.444846943709866)×R²
    abs(0.02919357-0.02914563)×1.91033901474902e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.91033901474902e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.91033901474902e-05×40589641000000     		ar = 18463.1322804634m²