Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66143 / 35295
↖ ↑ ↗
← N 63.588897°
E  1.667175°		 ← 135.83 m → N 63.588897°
E  1.669922°		 →
↑
135.83 m
↓
↑
135.83 m
↓
N 63.587675°
E  1.667175°		 ← 135.83 m →
18 450 m²		 N 63.587675°
E  1.669922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504634857177734 y=0.269283294677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504634857177734 × 217)
    floor (0.504634857177734 × 131072)
    floor (66143.5)     		tx = 66143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269283294677734 × 217)
    floor (0.269283294677734 × 131072)
    floor (35295.5)     		ty = 35295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66143 / 35295 ti = "17/66143/35295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66143/35295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66143 ÷ 217
    66143 ÷ 131072     		x = 0.504631042480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35295 ÷ 217
    35295 ÷ 131072     		y = 0.269279479980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504631042480469 × 2 - 1) × π
    0.0092620849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02909770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269279479980469 × 2 - 1) × π
    0.461441040039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.44965978141012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02909770} λ = 0.02909770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44965978141012))-π/2
    2×atan(4.26166437105694)-π/2
    2×1.34031597378399-π/2
    2.68063194756799-1.57079632675     		φ = 1.10983562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02909770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.667175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10983562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.588897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66143 KachelY 35295 0.02909770 1.10983562 1.667175 63.588897
    Oben rechts KachelX + 1 66144 KachelY 35295 0.02914563 1.10983562 1.669922 63.588897
    Unten links KachelX 66143 KachelY + 1 35296 0.02909770 1.10981430 1.667175 63.587675
    Unten rechts KachelX + 1 66144 KachelY + 1 35296 0.02914563 1.10981430 1.669922 63.587675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10983562-1.10981430) × R
    2.13199999998803e-05 × 6371000     		dl = 135.829719999238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10983562-1.10981430) × R
    2.13199999998803e-05 × 6371000     		dr = 135.829719999238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02909770-0.02914563) × cos(1.10983562) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.444808745683444 × 6371000     		do = 135.827701543645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02909770-0.02914563) × cos(1.10981430) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.444827840319719 × 6371000     		du = 135.83353232054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10983562)-sin(1.10981430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444808745683444-0.444827840319719)×R²
    abs(0.02914563-0.02909770)×1.90946362743638e-05×R²
    4.79299999999981e-05×1.90946362743638e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×1.90946362743638e-05×40589641000000     		ar = 18449.8346660241m²