Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66136 / 76068
↖ ↑ ↗
← S 27.771051°
E  1.647949°		 ← 270.25 m → S 27.771051°
E  1.650696°		 →
↑
270.19 m
↓
↑
270.19 m
↓
S 27.773481°
E  1.647949°		 ← 270.24 m →
73 018 m²		 S 27.773481°
E  1.650696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504581451416016 y=0.580356597900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504581451416016 × 217)
    floor (0.504581451416016 × 131072)
    floor (66136.5)     		tx = 66136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580356597900391 × 217)
    floor (0.580356597900391 × 131072)
    floor (76068.5)     		ty = 76068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66136 / 76068 ti = "17/66136/76068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66136/76068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66136 ÷ 217
    66136 ÷ 131072     		x = 0.50457763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76068 ÷ 217
    76068 ÷ 131072     		y = 0.580352783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50457763671875 × 2 - 1) × π
    0.0091552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02876214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580352783203125 × 2 - 1) × π
    -0.16070556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.504871426798431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02876214} λ = 0.02876214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.504871426798431))-π/2
    2×atan(0.603583175059547)-π/2
    2×0.543050023373454-π/2
    1.08610004674691-1.57079632675     		φ = -0.48469628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02876214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.647949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48469628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.771051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66136 KachelY 76068 0.02876214 -0.48469628 1.647949 -27.771051
    Oben rechts KachelX + 1 66137 KachelY 76068 0.02881008 -0.48469628 1.650696 -27.771051
    Unten links KachelX 66136 KachelY + 1 76069 0.02876214 -0.48473869 1.647949 -27.773481
    Unten rechts KachelX + 1 66137 KachelY + 1 76069 0.02881008 -0.48473869 1.650696 -27.773481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48469628--0.48473869) × R
    4.24100000000482e-05 × 6371000     		dl = 270.194110000307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48469628--0.48473869) × R
    4.24100000000482e-05 × 6371000     		dr = 270.194110000307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02876214-0.02881008) × cos(-0.48469628) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.884816505105492 × 6371000     		do = 270.245735836058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02876214-0.02881008) × cos(-0.48473869) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.884796743809457 × 6371000     		du = 270.239700227593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48469628)-sin(-0.48473869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884816505105492-0.884796743809457)×R²
    abs(0.02881008-0.02876214)×1.97612960353144e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.97612960353144e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.97612960353144e-05×40589641000000     		ar = 73017.9906936115m²