Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66134 / 76063
↖ ↑ ↗
← S 27.758899°
E  1.642456°		 ← 270.22 m → S 27.758899°
E  1.645202°		 →
↑
270.26 m
↓
↑
270.26 m
↓
S 27.761330°
E  1.642456°		 ← 270.21 m →
73 028 m²		 S 27.761330°
E  1.645202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504566192626953 y=0.580318450927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504566192626953 × 217)
    floor (0.504566192626953 × 131072)
    floor (66134.5)     		tx = 66134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580318450927734 × 217)
    floor (0.580318450927734 × 131072)
    floor (76063.5)     		ty = 76063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66134 / 76063 ti = "17/66134/76063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66134/76063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66134 ÷ 217
    66134 ÷ 131072     		x = 0.504562377929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76063 ÷ 217
    76063 ÷ 131072     		y = 0.580314636230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504562377929688 × 2 - 1) × π
    0.009124755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02866627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580314636230469 × 2 - 1) × π
    -0.160629272460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.504631742300331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02866627} λ = 0.02866627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.504631742300331))-π/2
    2×atan(0.60372786192883)-π/2
    2×0.543156067693951-π/2
    1.0863121353879-1.57079632675     		φ = -0.48448419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02866627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.642456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48448419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.758899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66134 KachelY 76063 0.02866627 -0.48448419 1.642456 -27.758899
    Oben rechts KachelX + 1 66135 KachelY 76063 0.02871420 -0.48448419 1.645202 -27.758899
    Unten links KachelX 66134 KachelY + 1 76064 0.02866627 -0.48452661 1.642456 -27.761330
    Unten rechts KachelX + 1 66135 KachelY + 1 76064 0.02871420 -0.48452661 1.645202 -27.761330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48448419--0.48452661) × R
    4.2420000000043e-05 × 6371000     		dl = 270.257820000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48448419--0.48452661) × R
    4.2420000000043e-05 × 6371000     		dr = 270.257820000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02866627-0.02871420) × cos(-0.48448419) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.884915306343466 × 6371000     		do = 270.219534323102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02866627-0.02871420) × cos(-0.48452661) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.884895548348582 × 6371000     		du = 270.213500981676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48448419)-sin(-0.48452661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884915306343466-0.884895548348582)×R²
    abs(0.02871420-0.02866627)×1.9757994883185e-05×R²
    4.79299999999981e-05×1.9757994883185e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×1.9757994883185e-05×40589641000000     		ar = 73028.1269997186m²