Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66133 / 76061
↖ ↑ ↗
← S 27.754038°
E  1.639710°		 ← 270.29 m → S 27.754038°
E  1.642456°		 →
↑
270.26 m
↓
↑
270.26 m
↓
S 27.756469°
E  1.639710°		 ← 270.28 m →
73 047 m²		 S 27.756469°
E  1.642456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504558563232422 y=0.580303192138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504558563232422 × 217)
    floor (0.504558563232422 × 131072)
    floor (66133.5)     		tx = 66133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580303192138672 × 217)
    floor (0.580303192138672 × 131072)
    floor (76061.5)     		ty = 76061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66133 / 76061 ti = "17/66133/76061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66133/76061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66133 ÷ 217
    66133 ÷ 131072     		x = 0.504554748535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76061 ÷ 217
    76061 ÷ 131072     		y = 0.580299377441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504554748535156 × 2 - 1) × π
    0.0091094970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02861833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580299377441406 × 2 - 1) × π
    -0.160598754882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.504535868501091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02861833} λ = 0.02861833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.504535868501091))-π/2
    2×atan(0.603785746387418)-π/2
    2×0.543198488737196-π/2
    1.08639697747439-1.57079632675     		φ = -0.48439935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02861833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.639710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48439935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.754038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66133 KachelY 76061 0.02861833 -0.48439935 1.639710 -27.754038
    Oben rechts KachelX + 1 66134 KachelY 76061 0.02866627 -0.48439935 1.642456 -27.754038
    Unten links KachelX 66133 KachelY + 1 76062 0.02861833 -0.48444177 1.639710 -27.756469
    Unten rechts KachelX + 1 66134 KachelY + 1 76062 0.02866627 -0.48444177 1.642456 -27.756469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48439935--0.48444177) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dl = 270.25781999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48439935--0.48444177) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dr = 270.25781999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02861833-0.02866627) × cos(-0.48439935) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.884954817556097 × 6371000     		do = 270.287980018635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02861833-0.02866627) × cos(-0.48444177) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.884935062745982 × 6371000     		du = 270.281946391137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48439935)-sin(-0.48444177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884954817556097-0.884935062745982)×R²
    abs(0.02866627-0.02861833)×1.9754810114514e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.9754810114514e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.9754810114514e-05×40589641000000     		ar = 73046.6249455039m²