Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6613 / 1461
↖ ↑ ↗
← N 81.344770°
W 34.694824°		 ← 367.69 m → N 81.344770°
W 34.672852°		 →
↑
367.73 m
↓
↑
367.73 m
↓
N 81.341463°
W 34.694824°		 ← 367.82 m →
135 236 m²		 N 81.341463°
W 34.672852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403656005859375 y=0.089202880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403656005859375 × 214)
    floor (0.403656005859375 × 16384)
    floor (6613.5)     		tx = 6613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.089202880859375 × 214)
    floor (0.089202880859375 × 16384)
    floor (1461.5)     		ty = 1461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6613 / 1461 ti = "14/6613/1461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6613/1461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6613 ÷ 214
    6613 ÷ 16384     		x = 0.40362548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1461 ÷ 214
    1461 ÷ 16384     		y = 0.08917236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40362548828125 × 2 - 1) × π
    -0.1927490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60553892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08917236328125 × 2 - 1) × π
    0.8216552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58130617074078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60553892} λ = -0.60553892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58130617074078))-π/2
    2×atan(13.2143871379876)-π/2
    2×1.49526519430491-π/2
    2.99053038860981-1.57079632675     		φ = 1.41973406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60553892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.694824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41973406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.344770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6613 KachelY 1461 -0.60553892 1.41973406 -34.694824 81.344770
    Oben rechts KachelX + 1 6614 KachelY 1461 -0.60515542 1.41973406 -34.672852 81.344770
    Unten links KachelX 6613 KachelY + 1 1462 -0.60553892 1.41967634 -34.694824 81.341463
    Unten rechts KachelX + 1 6614 KachelY + 1 1462 -0.60515542 1.41967634 -34.672852 81.341463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41973406-1.41967634) × R
    5.77199999998168e-05 × 6371000     		dl = 367.734119998833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41973406-1.41967634) × R
    5.77199999998168e-05 × 6371000     		dr = 367.734119998833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60553892--0.60515542) × cos(1.41973406) × R
    0.000383499999999981 × 0.15048838664612 × 6371000     		do = 367.685039592134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60553892--0.60515542) × cos(1.41967634) × R
    0.000383499999999981 × 0.150545449067169 × 6371000     		du = 367.824458978642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41973406)-sin(1.41967634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15048838664612-0.150545449067169)×R²
    abs(-0.60515542--0.60553892)×5.70624210490811e-05×R²
    0.000383499999999981×5.70624210490811e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.70624210490811e-05×40589641000000     		ar = 135235.969140105m²