Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66121 / 76025
↖ ↑ ↗
← S 27.666501°
E  1.606751°		 ← 270.45 m → S 27.666501°
E  1.609497°		 →
↑
270.51 m
↓
↑
270.51 m
↓
S 27.668934°
E  1.606751°		 ← 270.44 m →
73 159 m²		 S 27.668934°
E  1.609497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504467010498047 y=0.580028533935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504467010498047 × 217)
    floor (0.504467010498047 × 131072)
    floor (66121.5)     		tx = 66121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580028533935547 × 217)
    floor (0.580028533935547 × 131072)
    floor (76025.5)     		ty = 76025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66121 / 76025 ti = "17/66121/76025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66121/76025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66121 ÷ 217
    66121 ÷ 131072     		x = 0.504463195800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76025 ÷ 217
    76025 ÷ 131072     		y = 0.580024719238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504463195800781 × 2 - 1) × π
    0.0089263916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02804309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580024719238281 × 2 - 1) × π
    -0.160049438476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.502810140114769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02804309} λ = 0.02804309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.502810140114769))-π/2
    2×atan(0.604828616185405)-π/2
    2×0.543962391172147-π/2
    1.08792478234429-1.57079632675     		φ = -0.48287154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02804309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.606751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48287154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.666501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66121 KachelY 76025 0.02804309 -0.48287154 1.606751 -27.666501
    Oben rechts KachelX + 1 66122 KachelY 76025 0.02809102 -0.48287154 1.609497 -27.666501
    Unten links KachelX 66121 KachelY + 1 76026 0.02804309 -0.48291400 1.606751 -27.668934
    Unten rechts KachelX + 1 66122 KachelY + 1 76026 0.02809102 -0.48291400 1.609497 -27.668934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48287154--0.48291400) × R
    4.24600000000219e-05 × 6371000     		dl = 270.51266000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48287154--0.48291400) × R
    4.24600000000219e-05 × 6371000     		dr = 270.51266000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02804309-0.02809102) × cos(-0.48287154) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.885665250264763 × 6371000     		do = 270.448538721315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02804309-0.02809102) × cos(-0.48291400) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.885645534256222 × 6371000     		du = 270.442518200924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48287154)-sin(-0.48291400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885665250264763-0.885645534256222)×R²
    abs(0.02809102-0.02804309)×1.97160085406711e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.97160085406711e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.97160085406711e-05×40589641000000     		ar = 73158.9393001835m²