Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6612 / 3261
↖ ↑ ↗
← N 34.415973°
E110.566406°		 ← 4 031.14 m → N 34.415973°
E110.610351°		 →
↑
4 032.01 m
↓
↑
4 032.01 m
↓
N 34.379713°
E110.566406°		 ← 4 032.89 m →
16 257 146 m²		 N 34.379713°
E110.610351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80718994140625 y=0.39813232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80718994140625 × 213)
    floor (0.80718994140625 × 8192)
    floor (6612.5)     		tx = 6612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.39813232421875 × 213)
    floor (0.39813232421875 × 8192)
    floor (3261.5)     		ty = 3261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6612 / 3261 ti = "13/6612/3261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6612/3261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6612 ÷ 213
    6612 ÷ 8192     		x = 0.80712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3261 ÷ 213
    3261 ÷ 8192     		y = 0.3980712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80712890625 × 2 - 1) × π
    0.6142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92974783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3980712890625 × 2 - 1) × π
    0.203857421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.64043697892395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92974783} λ = 1.92974783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.64043697892395))-π/2
    2×atan(1.89730978257232)-π/2
    2×1.08573418880887-π/2
    2.17146837761774-1.57079632675     		φ = 0.60067205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92974783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.566406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60067205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.415973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6612 KachelY 3261 1.92974783 0.60067205 110.566406 34.415973
    Oben rechts KachelX + 1 6613 KachelY 3261 1.93051482 0.60067205 110.610351 34.415973
    Unten links KachelX 6612 KachelY + 1 3262 1.92974783 0.60003918 110.566406 34.379713
    Unten rechts KachelX + 1 6613 KachelY + 1 3262 1.93051482 0.60003918 110.610351 34.379713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60067205-0.60003918) × R
    0.000632870000000008 × 6371000     		dl = 4032.01477000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60067205-0.60003918) × R
    0.000632870000000008 × 6371000     		dr = 4032.01477000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92974783-1.93051482) × cos(0.60067205) × R
    0.000766990000000023 × 0.824955960582093 × 6371000     		do = 4031.14176593002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92974783-1.93051482) × cos(0.60003918) × R
    0.000766990000000023 × 0.825313491584101 × 6371000     		du = 4032.8888387723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60067205)-sin(0.60003918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824955960582093-0.825313491584101)×R²
    abs(1.93051482-1.92974783)×0.000357531002008193×R²
    0.000766990000000023×0.000357531002008193×6371000²
    0.000766990000000023×0.000357531002008193×40589641000000     		ar = 16257145.7945624m²