Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6612 / 3260
↖ ↑ ↗
← N 34.452219°
E110.566406°		 ← 4 029.39 m → N 34.452219°
E110.610351°		 →
↑
4 030.29 m
↓
↑
4 030.29 m
↓
N 34.415973°
E110.566406°		 ← 4 031.14 m →
16 243 167 m²		 N 34.415973°
E110.610351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80718994140625 y=0.39801025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80718994140625 × 213)
    floor (0.80718994140625 × 8192)
    floor (6612.5)     		tx = 6612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.39801025390625 × 213)
    floor (0.39801025390625 × 8192)
    floor (3260.5)     		ty = 3260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6612 / 3260 ti = "13/6612/3260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6612/3260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6612 ÷ 213
    6612 ÷ 8192     		x = 0.80712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3260 ÷ 213
    3260 ÷ 8192     		y = 0.39794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80712890625 × 2 - 1) × π
    0.6142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92974783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39794921875 × 2 - 1) × π
    0.2041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.641203969317871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92974783} λ = 1.92974783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.641203969317871))-π/2
    2×atan(1.89876555916181)-π/2
    2×1.08605048687351-π/2
    2.17210097374702-1.57079632675     		φ = 0.60130465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92974783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.566406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60130465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.452219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6612 KachelY 3260 1.92974783 0.60130465 110.566406 34.452219
    Oben rechts KachelX + 1 6613 KachelY 3260 1.93051482 0.60130465 110.610351 34.452219
    Unten links KachelX 6612 KachelY + 1 3261 1.92974783 0.60067205 110.566406 34.415973
    Unten rechts KachelX + 1 6613 KachelY + 1 3261 1.93051482 0.60067205 110.610351 34.415973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60130465-0.60067205) × R
    0.000632599999999983 × 6371000     		dl = 4030.29459999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60130465-0.60067205) × R
    0.000632599999999983 × 6371000     		dr = 4030.29459999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92974783-1.93051482) × cos(0.60130465) × R
    0.000766990000000023 × 0.824598251909172 × 6371000     		do = 4029.39382490002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92974783-1.93051482) × cos(0.60067205) × R
    0.000766990000000023 × 0.824955960582093 × 6371000     		du = 4031.14176593002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60130465)-sin(0.60067205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824598251909172-0.824955960582093)×R²
    abs(1.93051482-1.92974783)×0.000357708672921619×R²
    0.000766990000000023×0.000357708672921619×6371000²
    0.000766990000000023×0.000357708672921619×40589641000000     		ar = 16243167.0741001m²