Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66118 / 76041
↖ ↑ ↗
← S 27.705415°
E  1.598511°		 ← 270.35 m → S 27.705415°
E  1.601257°		 →
↑
270.39 m
↓
↑
270.39 m
↓
S 27.707847°
E  1.598511°		 ← 270.35 m →
73 098 m²		 S 27.707847°
E  1.601257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504444122314453 y=0.580150604248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504444122314453 × 217)
    floor (0.504444122314453 × 131072)
    floor (66118.5)     		tx = 66118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580150604248047 × 217)
    floor (0.580150604248047 × 131072)
    floor (76041.5)     		ty = 76041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66118 / 76041 ti = "17/66118/76041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66118/76041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66118 ÷ 217
    66118 ÷ 131072     		x = 0.504440307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76041 ÷ 217
    76041 ÷ 131072     		y = 0.580146789550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504440307617188 × 2 - 1) × π
    0.008880615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02789928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580146789550781 × 2 - 1) × π
    -0.160293579101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.50357713050869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02789928} λ = 0.02789928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.50357713050869))-π/2
    2×atan(0.604364896303902)-π/2
    2×0.543622803302154-π/2
    1.08724560660431-1.57079632675     		φ = -0.48355072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02789928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.598511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48355072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.705415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66118 KachelY 76041 0.02789928 -0.48355072 1.598511 -27.705415
    Oben rechts KachelX + 1 66119 KachelY 76041 0.02794721 -0.48355072 1.601257 -27.705415
    Unten links KachelX 66118 KachelY + 1 76042 0.02789928 -0.48359316 1.598511 -27.707847
    Unten rechts KachelX + 1 66119 KachelY + 1 76042 0.02794721 -0.48359316 1.601257 -27.707847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48355072--0.48359316) × R
    4.24400000000325e-05 × 6371000     		dl = 270.385240000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48355072--0.48359316) × R
    4.24400000000325e-05 × 6371000     		dr = 270.385240000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02789928-0.02794721) × cos(-0.48355072) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.885349686232174 × 6371000     		do = 270.352177447729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02789928-0.02794721) × cos(-0.48359316) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.885329953986934 × 6371000     		du = 270.346151969266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48355072)-sin(-0.48359316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885349686232174-0.885329953986934)×R²
    abs(0.02794721-0.02789928)×1.97322452401005e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.97322452401005e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.97322452401005e-05×40589641000000     		ar = 73098.4237945291m²