Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66116 / 76042
↖ ↑ ↗
← S 27.707847°
E  1.593017°		 ← 270.40 m → S 27.707847°
E  1.595764°		 →
↑
270.39 m
↓
↑
270.39 m
↓
S 27.710279°
E  1.593017°		 ← 270.40 m →
73 112 m²		 S 27.710279°
E  1.595764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504428863525391 y=0.580158233642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504428863525391 × 217)
    floor (0.504428863525391 × 131072)
    floor (66116.5)     		tx = 66116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580158233642578 × 217)
    floor (0.580158233642578 × 131072)
    floor (76042.5)     		ty = 76042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66116 / 76042 ti = "17/66116/76042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66116/76042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66116 ÷ 217
    66116 ÷ 131072     		x = 0.504425048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76042 ÷ 217
    76042 ÷ 131072     		y = 0.580154418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504425048828125 × 2 - 1) × π
    0.00885009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02780340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580154418945312 × 2 - 1) × π
    -0.160308837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.50362506740831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02780340} λ = 0.02780340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.50362506740831))-π/2
    2×atan(0.604335925618922)-π/2
    2×0.543601583079113-π/2
    1.08720316615823-1.57079632675     		φ = -0.48359316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02780340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.593017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48359316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.707847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66116 KachelY 76042 0.02780340 -0.48359316 1.593017 -27.707847
    Oben rechts KachelX + 1 66117 KachelY 76042 0.02785134 -0.48359316 1.595764 -27.707847
    Unten links KachelX 66116 KachelY + 1 76043 0.02780340 -0.48363560 1.593017 -27.710279
    Unten rechts KachelX + 1 66117 KachelY + 1 76043 0.02785134 -0.48363560 1.595764 -27.710279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48359316--0.48363560) × R
    4.24399999999769e-05 × 6371000     		dl = 270.385239999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48359316--0.48363560) × R
    4.24399999999769e-05 × 6371000     		dr = 270.385239999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02780340-0.02785134) × cos(-0.48359316) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.885329953986934 × 6371000     		do = 270.402556340624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02780340-0.02785134) × cos(-0.48363560) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.885310220147079 × 6371000     		du = 270.396529117983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48359316)-sin(-0.48363560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885329953986934-0.885310220147079)×R²
    abs(0.02785134-0.02780340)×1.97338398553182e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.97338398553182e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.97338398553182e-05×40589641000000     		ar = 73112.0452676901m²