Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66115 / 76023
↖ ↑ ↗
← S 27.661636°
E  1.590271°		 ← 270.52 m → S 27.661636°
E  1.593017°		 →
↑
270.51 m
↓
↑
270.51 m
↓
S 27.664069°
E  1.590271°		 ← 270.51 m →
73 177 m²		 S 27.664069°
E  1.593017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504421234130859 y=0.580013275146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504421234130859 × 217)
    floor (0.504421234130859 × 131072)
    floor (66115.5)     		tx = 66115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580013275146484 × 217)
    floor (0.580013275146484 × 131072)
    floor (76023.5)     		ty = 76023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66115 / 76023 ti = "17/66115/76023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66115/76023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66115 ÷ 217
    66115 ÷ 131072     		x = 0.504417419433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76023 ÷ 217
    76023 ÷ 131072     		y = 0.580009460449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504417419433594 × 2 - 1) × π
    0.0088348388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02775546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580009460449219 × 2 - 1) × π
    -0.160018920898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.502714266315529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02775546} λ = 0.02775546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.502714266315529))-π/2
    2×atan(0.604886606182544)-π/2
    2×0.544004848163208-π/2
    1.08800969632642-1.57079632675     		φ = -0.48278663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02775546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.590271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48278663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.661636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66115 KachelY 76023 0.02775546 -0.48278663 1.590271 -27.661636
    Oben rechts KachelX + 1 66116 KachelY 76023 0.02780340 -0.48278663 1.593017 -27.661636
    Unten links KachelX 66115 KachelY + 1 76024 0.02775546 -0.48282909 1.590271 -27.664069
    Unten rechts KachelX + 1 66116 KachelY + 1 76024 0.02780340 -0.48282909 1.593017 -27.664069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48278663--0.48282909) × R
    4.24600000000219e-05 × 6371000     		dl = 270.51266000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48278663--0.48282909) × R
    4.24600000000219e-05 × 6371000     		dr = 270.51266000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02775546-0.02780340) × cos(-0.48278663) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.885704672849149 × 6371000     		do = 270.517005126408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02775546-0.02780340) × cos(-0.48282909) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.885684960033714 × 6371000     		du = 270.510984325166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48278663)-sin(-0.48282909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885704672849149-0.885684960033714)×R²
    abs(0.02780340-0.02775546)×1.97128154351134e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.97128154351134e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.97128154351134e-05×40589641000000     		ar = 73177.4602915178m²